Berechnen Sie das Volumenintegral über die Funktion f(x,y,z) = x + yz auf diesem Körper.

Question

Aufgabe:

Der Körper M sei im ersten Quadranten (x,y,z ≥ 0) durch die drei Koordinatenebenen und die Ebene

E: x + y +z = 1

begrenzt. Berechnen Sie das Volumenintegral über die Funktion f(x,y,z) = x + yz auf diesem Körper.

Problem/Ansatz:

Wie werden Volumenintegrale mit Funktionen berechnet?

Answer 1

Aloha :)

Unser Volumen \(V\) ist auf den ersten Oktanden beschränkt, also haben wir keine negativen Koordinaten, d.h anders ausgedrückt: \(x,y,z\ge0\). Wegen der "Deckel"-Ebene sind wir jedoch in der Wahl der Koordinaten nach oben durch die Bedingung$$x+y+z\le1$$eingeschränkt. Wir wählen zuerst \(x\in[0|1]\) völlig frei aus und halten es fest. Bei der Wahl von \(y\) müssen wir dann \(y+z\le1-x\) beachten, können also \(y\in[0|1-x]\) völlig frei wählen und dann festhalten. Bei der Wahl von \(z\) bleibt die Bedingung \(z\le1-x-y\) übrig, sodass wir \(z\in[0|1-x-y]\) wählen können. Damit haben wir die Integrationsgrenzen zusammen und können das Integral formulieren:$$I=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}\int\limits_{z=0}^{1-x-y}(x+yz)\,dx\,dy\,dz=\cdots$$

Kriegst du die Rechnung hin? Es kommt \(\frac{1}{20}\) als Ergebnis heraus.

Falls bei der Rechnung Probleme auftreten, bitte einfach nochmal nachfragen...

Comments

Ich komme auch auf 1/20, die Berechnung macht nun auch absolut Sinn.

Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht..

Vielen Dank!