Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes Q und den Abstand zwischen P und Q.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist im \(\mathbb{R}^2\) die Gerade $$g:\overrightarrow{r}\left(\lambda\right) = \begin{pmatrix} 2\\-6\\\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 9\\5\\ \end{pmatrix} $$ und der Punkt \(P=(−9;3)\).

Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes Q und den Abstand zwischen P und Q. Der Lotfußpunkt Q ist der Punkt der Geraden g, der den kleinsten Abstand zu P hat!

Answer 1

Lotgerade zu g durch P

x = [-9, 3] + s·[5, -9]

Lotfußpunkt als Schnittpunkt der Geraden

Q = [2, -6] + r·[9, 5] = [-9, 3] + s·[5, -9] --> r = - 27/53 ∧ s = 68/53

Q = [2, -6] - 27/53·[9, 5] = [-9, 3] + 68/53·[5, -9] = [-137/53, -453/53] = [-2.585, -8.547]

Abstand der Punkte P und Q

d = |68/53·[5, -9]| = 68/53·√106 = 13.21

Comments

Lotfußpunkt und Abstand über Formel

Lotfußpunkt

Q = [2, -6] + ([-9, 3] - [2, -6])·[9, 5]/[9, 5]^2·[9, 5] = [-137/53, -453/53]

Abstand

g: [2, -6] + r·[9, 5]

g: 5·x - 9·y = 64
d = |5·(-9) - 9·(3) - 64| / √(5^2 + 9^2) = 68/53·√106

Answer 2

Hallo Daisy,

die Lotgerade durch P   ist  l:  \(\vec{x}\)  =  \(\begin{pmatrix} -9 \\ 3 \end{pmatrix}\)  +  s * \(\begin{pmatrix} -5 \\ 9 \end{pmatrix}\)

Q ist deren Schnittpunkt mit g         Kontrollergebnis Q (- 137/53 | - 453/53 )

Abstand zwischen P und Q  = | \(\vec{q}-\vec{p}\) |

Gruß Wolfgang