nichtnegative stetige Funktion ist der gleichmäßige limes einer folge von nichtnegativen Treppenfunktionen

Question

Aufgabe:

Eine nichtnegative stetige Funktion f : [a,b] → R ist der gleichmäßige Limes
einer steigenden Folge von nichtnegativen Treppenfunktionen.

Problem/Ansatz

Stimmt der Ansatz:

Sei(φk)eine monoton steigende Folge nichtnegativer Treppenfunktion auf Rⁿ.Gibt es ein A≥0, so dass ∫_Rnφkdμ ≤ A so konvergieren die φ_kμ-fast überall.

Aufgrund der Monotonie der Funktionenfolge genügt es zu zeigen, dass die φ_k fast überall beschränkt sind – wobei die Schranke vom Punkt abhängen darf.

Sei dazu An.={x∈Rⁿ:  supφ_k≤n},  n ≥1.Dann sind alle A_n messbar, und aus

A ≥∫_Rnφkdμ ≥∫_Anφkdμ ≥∫_Ann=nμ(An) folgt

μ(An) ≤A/n. Die Menge A=⋂_n≥1(A_n) ist daher eine Nullmenge, und für x∉A ist(φk(x))k≥1beschränkt.

Und wenn nicht wie mache ich das sonst?