Bestimmen Sie alle nichtnegativen globalen Lösungen u des Anfangswertproblems u^{\prime}=√{u}, u(0)=0 .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie alle nichtnegativen globalen Lösungen \( u \) des Anfangswertproblems \( u^{\prime}=\sqrt{u}, u(0)=0 \).

Problem/Ansatz:

Ich habe die DGL gelöst und habe als lösung $u=0,5*t^2$ Was soll ich jetzt machen und gibt es noch weitere Lösungen ?

Comments

Ich habe mich verschrieben es ist (t/2)^2

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und natürlich ist die 0 auch eine Lösung. Weitere sollte es ja nicht geben. Ich muss dann ja jetzt zeigen, dass das alle sind. Muss man das irgendwie über Picard Lindelöf oder Peano machen? Falls ja, habe ich wirklich nicht so die Ahnung.

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So vielleicht: Definiere \(v=2\sqrt u-t\). Dann ist \(v'=\dfrac{u'-\sqrt u}{\sqrt u}=0\). Daher existiert eine Konstante \(c\) mit \(v=c\). Wegen \(u(0)=0\) ist \(c=0\), also \(2\sqrt u=t\).

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Vielen Dank. Aber wieso wäre es damit bewiesen? :D

Answer 1

Ja mit u=0 zusammen hast du alle Lösungen zu der gegebenen Anfangsbedingung .

Gruß lul