Berechne die Ableitungsfunktion f^{\prime}(x) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle u .

Question

Aufgabe:

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Aufgabe: (2 Punkte)
Gegeben ist die Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=5 x^{2}-1 \). Berechne die Ableitungsfunktion \( f^{\prime}(x) \) mithilfe des Differenzenquotienten an einer allgemeinen Stelle \( u \).
Soll dieser Funktionsterm eingegeben werden?
Ja, so lösen

Answer 1

Aloha :)

Wir setzen die Funktion \(f(x)\) in die Definition des Differentialquotienten ein:

$$f'(u)=\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=\lim\limits_{x\to u}\frac{\left(5x^2-1\right)-\left(5u^2-1\right)}{x-u}=\lim\limits_{x\to u}\frac{5x^2-5u^2}{x-u}$$Im Zähler klammern wir die \(5\) aus und nutzen dann die dritte binomische Formel:$$\phantom{f'(u)}=\lim\limits_{x\to u}\frac{5(x^2-u^2)}{x-u}=\lim\limits_{x\to u}\frac{5(x+u)\cancel{(x-u)}}{\cancel{x-u}}=\lim\limits_{x\to u}5(x+u)=5(u+u)=10u$$