Orthogonalität nachweisen

Question

Man betrachte die Funktion der Funktionenschar fa mit a=1: f1(x)=(x+1)*e^-x

Weise nach: Für einen Punkt P(u | f1(u)) des Graphen von f1 ist die Ursprungsgerade OP genau dann orthogonal zur Tangente in P an den Graphen von f1 , wenn gilt :

 e^2u - u - 1 = 0 .

Weis ehrlich gesagt nicht wie der Ansatz sein kann .

Answer 1

f1(x)=(x+1)*e^(-x)

 Für einen Punkt P(u | f1(u)) des Graphen von f1 hat die Ursprungsgerade OP

die Steigung  ( f1(u) - 0 ) /  ( u - 0 )  =  f1(u) / u = (u+1) *e^(-u) / u

und die Tangente in P hat die Steigung  f1 ' (u) = -u * e^(-u) .

Die sind genau dann orthogonal, wenn das Produkt der Steigungen -1 ergibt :

( (u+1) *e^(-u) / u ) * ( -u * e^(-u) ) = -1

( (u+1) *e^(-u)  ) * ( - e^(-u) ) = -1

(u+1) * ( - e^(-2u))  = -1

u+1 = e^(2u)     q.e.d.

Answer 2

zur Tangente in P

Bestimme die Funktionsgleichung der Tangente

        t_u(x) = m_tx + b

der Funktion f₁ im Punkt P(u | f₁(u)).

die Ursprungsgerade OP ...

... hat, wenn sie durch den Punkt P(u | f₁(u)) verläuft, die Funktionsgleichung

        n_u(x) = m_n· x

mit

(1)        m_n = f₁(u)/u.

t_u und n_u sind orthogonal zueinander, wenn

(2)        m_t = -1/m_n

ist. Setze (1) in (2) ein und forme so lange um bis du

        e^2u - u - 1 = 0

bekommst.