Partielle Integraton: (4ax^3)/(√1+a^2·x^8) dx

Question

Aufgabe:

Lösen Sie folgendes unbestimmtes Integral:

\( \frac{4ax^3}{ \sqrt{1+a^2*x^8} } \) dx

Soll ich hier den Wurzelausdruck umschreiben und mit der partiellen Integration weiterrechnen?

Answer 1

Hey du hast

$$ \int \frac{4ax^3}{( \sqrt{1+a^2*x^8} } \, dx $$

umschreiben

$$ \int \frac{4ax^3}{( \sqrt{1+(ax^4)^2} } \, dx $$

substituier mal

$$ ax^4 $$

dann kürzt sich einiges raus und du hast dann:

$$ \int\dfrac{4ax^3}{\sqrt{u^2+1}} \frac{1}{4ax^3}\,\mathrm{d}u$$

Das ist dann ein Standardintegral...

$$\int\dfrac{1}{\sqrt{u^2+1}}\,\mathrm{d}u $$

Comments

warum kann ich nicht den Nenner substituieren?

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Und Du meinst, ich soll ax^3 substituieren?

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Nope ax^4 :)

du hast ja unten

$$ a^2x^8 = (ax^4)^2 $$

wenn du dann ax^4 substituierst hast du

u^2 und kürst dann den Rest raus, so wie ich das in meiner Antwort vorgeschlagen habe :)

XXXXXXXXXXXXXXXXXXX

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Warum ist es nicht sinnvoll den Wurzelausdruck zu substituieren? Dies ist meine erste Substitutionsaufgabe.

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Mittels Rücksubstitution käme man auf

\( \int\limits_{}^{} \) (4ax^3)/(\( \sqrt{(ax^4)^2+1} \) + C und das Integral wäre fertig bestimmt?

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Fehlen, da nicht die Betragsstriche?

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"Mittels Rücksubstitution käme man auf..."

Nein. Eigentlich steht in der Antwort bereits alles. Du substituierst genau das hier: "ax^4"

dann steht in deiner Klammer unter dem Bruch in der Wurzel ein u^2 !!!

wichtig beim substituieren ändert sich dx zu du !!!

du/dx = 4ax^3 --> dx = du/(4ax^3) <--- das hier setzt du dann für dx ein genauso wie ich das oben bereits alles gemacht habe :)

Dann kürzt du Zähler und Nenner und kommst genau auf das, was ich Standarintegral nenne...

Mehr nicht :D

Answer 2

.... und das Integral wäre fertig bestimmt?

Solange  ∫  dasteht, ist das Integral nicht fertig bestimmt.

∫ 1/√(1 + u²) du  =  LN(√(u^2 + 1) + u) + c

ist lediglich ein bekanntes Integral.

Herleitung:

https://www.youtube.com/watch?v=Dp2jkPXU9hw

Gruß Wolfgang

Comments

Wo findet man, dass das Standardintegral = ln .... entspricht?

Kann man das irgendwo für alle Standardintegrale nachschauen? und fehlen in der ln Klammer nicht die Betragsstriche bei dir?

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Das ist ein Standardintegral, wenn du die Funktion arsinh(x) kennst.

Denn arsinh(x)'=1/sqrt(x^2+1)

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ja, und wie kommt man auf das ln?

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Das ist eine explizite Darstellung der Funktion arsinh(x). Die schlägt man entweder nach oder leitet sie her.

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Achso, danke sehr!