Warum ist der lim x->0 von ((√1+x)-1)/x gleich 1/2?

Question

So wäre ich vorgegangen:

lim_x->0 ((√1+x)-1)/x   →   die Grenzwerte oben und unten wären, wenn man 0 einsetzt, jeweils "0"/"0". Dann hätte ich die Regel von L'Hospital angewendet und die Ableitungen gebildet:

mit (√1+x)-1 = √1+√x-1 = 1+√x-1 = √x

L'Hospital:

lim_x->0 √x/x = lim_x->0 1/(2*√x). Wenn man jetzt 0 für x einsetzt, erhält man: lim_x->0 1/(2*0). Und da man durch 0 nicht teilen darf, gibt es keinen Grenzwert. Aber wieso soll da 1/2 rauskommen?

Vielen Dank für alle Antworten!

Grüße

Answer 1

Warum ist der lim x->0 von ((√1+x)-1)/x gleich 1/2 ?

Wenn Du es mit L'Hospital rechnest, dann so:

Der Zähler und Nenner muß getrennt abgeleitet werden.

Comments

Also ist von f(x)=(√1+x)-1 die Ableitung f'(x)= 1/(2*(√1+x))?

Dann wäre dieser Schritt: "mit (√1+x)-1 = √1+√x-1 = 1+√x-1 = √x" unnötig?

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Du mußt nur  Zähler und Nenner  getrennt ableiten, das ist alles.

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Hab ich verstanden, aber bitte antworte auf meine Frage:  f(x)=(√1+x)-1 ⇒ f'(x)= 1/(2*(√1+x))?

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Hallo GroßerLöwe,

mal die Frage : weshalb stellst du bei deinen
Antworten mitunter einen Link auf  den Faden ein ?

Answer 2

lim_x->0 ((√1+x)-1)/x

Du hast todsicher falsch geklammert.

Ich möchte wetten es heißt
lim_x->0 ( √ (1+x ) -1) / x
( siehe Antwort GroßerLöwe)

Allgemein

( √ term  ) ´ = ( term ´ ) / ( 2 * √ term )

Muß man sich merken. Kommt immer wieder vor.

Kann auch über die Produktregel ermittelt werden

√ term   = term ^{1/2}
[ term ^{1/2} ] ´ = 1/2 * term ^{1/2-1} * term ´
1/2 * term ^{-1/2} * term ´ = ( term ´ ) / ( 2 * √ term )

Die weiteren Berechnungen siehe großer Löwe.