Geometrie zentrische Streckung usw.

Question

Hallo. Ich schreibe in ein paar Tagen eine Klausur und brauche Hilfe zu folgenden Aufgaben, bei denen ich verzweifle! Ich hoffe ihr könnt mir bei den Ansätzen helfen! Lg

Aufgabe 1: Zentrische Streckung
a) Zeigen Sie, dass je zwei Kreise mit verschiedenen Radien durch zentrische Streckungen aufeinander abgebildet werden können.
b) Gilt das auch für je zwei Quadrate oder zwei gleichseitige Dreiecke?
Aufgabe 2: Verketten zentrischer Streckungen
a) Was passiert, wenn man zwei zentrische Streckungen verkettet, also hintereinander ausführt? Geben Sie detailliert an, mit welcher Abbildung (EINE) man die Verkettung ersetzen kann. Unterscheiden Sie dabei die beiden Fälle, je nachdem ob das Streckzentrum gleich oder verschieden ist.
b) Wann lässt sich die Verkettung zweier zentrischer Streckungen als Verschiebung beschreiben?

Aufgabe 3: Verschiedene Arten von Konstruktionen

a)
Dritteln Sie eine DIN-A4-Seite! Vollziehen Sie dies auf vier verschiedene Weisen:

i.  explorativ: Versuchen Sie möglichst genau durch Falten die Seite zu dritteln.

ii. euklidisch: Konstruieren Sie die Drittelung der Seite alleine mit Zirkel und Lineal.

iii. kartesisch: Nutzen Sie Maße oder Berechnungen, um die Seite zu dritteln.

iv. digital: Konstruieren Sie mit dem TI-Nspire eine Strecke mit beliebiger Länge.
Benutzen Sie die Tools des Rechners, um diese nur durch Konstruktionen (Punkt 7) zu dritteln. Überprüfen Sie anschließend die Richtigkeit Ihres Ergebnisses.

b) Vergleichen Sie die vier Konstruktionswege aus a) und beurteilen Sie diese hinsichtlich Effizienz, Gehalt für das Lernen von Mathematik, Tiefe des Verstehens, Genauigkeit, Eleganz und Spaß.

Aufgabe 4: Scherung nutzen

Verwandeln Sie per Konstruktion mit Zirkel und Lineal das folgende Fünfeck in ein flächeninhaltsgleiches Dreieck. Geben Sie eine Konstruktionsbeschreibung an.

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Vom Duplikat:

Titel: Hilfe geometrie zentrische streckung

Stichworte: geometrie,zentrische,streckung

Aufgabe 1: Zentrische Streckung
a) Zeigen Sie, dass je zwei Kreise mit verschiedenen Radien durch zentrische Streckungen aufeinander abgebildet werden können.
b) Gilt das auch für je zwei Quadrate oder zwei gleichseitige Dreiecke?
Aufgabe 2: Verketten zentrischer Streckungen
a) Was passiert, wenn man zwei zentrische Streckungen verkettet, also hintereinander ausführt? Geben Sie detailliert an, mit welcher Abbildung (EINE) man die Verkettung ersetzen kann. Unterscheiden Sie dabei die beiden Fälle, je nachdem ob das Streckzentrum gleich oder verschieden ist.
b) Wann lässt sich die Verkettung zweier zentrischer Streckungen als Verschiebung beschreiben?

Aufgabe 3: Verschiedene Arten von Konstruktionen

a)
Dritteln Sie eine DIN-A4-Seite! Vollziehen Sie dies auf vier verschiedene Weisen:

i.  explorativ: Versuchen Sie möglichst genau durch Falten die Seite zu dritteln.

ii. euklidisch: Konstruieren Sie die Drittelung der Seite alleine mit Zirkel und Lineal.

iii. kartesisch: Nutzen Sie Maße oder Berechnungen, um die Seite zu dritteln.

iv. digital: Konstruieren Sie mit dem TI-Nspire eine Strecke mit beliebiger Länge.
Benutzen Sie die Tools des Rechners, um diese nur durch Konstruktionen (Punkt 7) zu dritteln. Überprüfen Sie anschließend die Richtigkeit Ihres Ergebnisses.

b) Vergleichen Sie die vier Konstruktionswege aus a) und beurteilen Sie diese hinsichtlich Effizienz, Gehalt für das Lernen von Mathematik, Tiefe des Verstehens, Genauigkeit, Eleganz und Spaß.

Aufgabe 4: Scherung nutzen

Verwandeln Sie per Konstruktion mit Zirkel und Lineal das folgende Fünfeck in ein flächeninhaltsgleiches Dreieck. Geben Sie eine Konstruktionsbeschreibung an.

Answer 1

Aufgabe 1: Zentrische Streckung
a) Zeigen Sie, dass je zwei Kreise mit verschiedenen Radien durch zentrische Streckungen aufeinander abgebildet werden können. 

Man kann immer folgendermassen ein passendes Streckzentrum konstruieren.

1. Die Kreismittelpunkte werden aufeinander abgebildet. Deshalb liegt das Streckzentrum auf der Geraden, die durch die beiden Mittelpunkte geht: Gerade g.

2. Von beiden Mittelpunkten zwei zueinander parallele Kreisradien, die nicht parallel zu g sind, und die Schnittpunkte der Radien mit den zugehörigen Kreislinien einzeichnen. Die beiden Schnittpunkte auf den Kreisen miteinander verbinden: Gerade h. Das Streckzentrum liegt auch auf der Verbindungsgeraden h der beiden Schnittpunkte.

3. g und h sind nicht parallel zueinander, weil die beiden Radien unterschiedlich lang sind. h und g miteinander schneiden --> Streckzentrum.

Beachte: Wenn die beiden Kreise unterschiedliche Mittelpunkte haben, gibt es jeweils ein inneres und ein äusseres Streckzentrum. Im Spezialfall konzentrische Kreise gibt es nur ein Streckzentrum: Den gemeinsamen Mittelpunkt der beiden Kreise. 

b) Gilt das auch für je zwei Quadrate oder zwei gleichseitige Dreiecke?

Nein nicht allgemein. Es gilt nur, wenn einander entsprechende Seiten zueinander parallel sind.

Answer 2

a) Zeigen Sie, dass je zwei Kreise mit verschiedenen Radien durch zentrische Streckungen aufeinander abgebildet werden können.

Zeichne die Gerade g durch die beiden Mittelpunkte. Lege in beide Kreise den dazu senkrechten Durchmesser. Die Schnittpunkte 'Duchmesser kleiner Kreis' seien A und A'. Die Schnittpunkte 'Duchmesser großer Kreis' seien B und B'. Die Gerade AB scheitet g im Streckzentrum.

b) Gilt das auch für je zwei Quadrate oder zwei gleichseitige Dreiecke? Im allgemeinen nicht. Insbesondere dann nicht, wenn die Figuren nicht paarweise parallele Seiten haben.