unbestimmtes Integral, e^x

Question

Aufgabe:

Wie berechne ich das unbestimmte Integral von (1-e^x)/(1+e^x) dx ?

Kann ich nicht folgendermaßen vorgehen?

das unbestimmte Integral von (1-e^x)/(1+e^x) dx

ich substituiere den Nenner:

z= 1+e^x

dann hätte ich \( \int\limits_{}^{} \) (1-e^x)/z dx

forme nach dx um

dz/dx= e^x

(1+e^x) abgeleitet, ergäbe e^x

<=> dx=dz/e^x

und setze es ein:

(1-e^x)/z * dz/e^x= das unbestimmte Integral von (1-1)/z dz

Answer 1

Du kannst (1-e^x)/(1+e^x) umschreiben in  (1+e^x-2e^x)/(1+e^x) = 1 - 2e^x/(1+e^x).

Da in dem Bruchterm e^x/(1+e^x) im Zähler die Ableitung des Nenners steht, ist ln(1+e^x) von diesem Term eine Stammfunktion.

Comments

Woher weiss ich, dass man es zu (1+e^x-2e^x)/(1+e^x) umschreiben darf? und was ist an meinem obigen Ansatz falsch? Würde er nicht funktionieren?

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"Woher weiss ich, dass man es zu (1+e^x-2e^x)/(1+e^x) umschreiben darf? "

Ich weiß nicht, woher du das weißt (oder auch nicht). Aber ich weiß, dass

-1e^x das Gleiche ist wie 1e^x-2e^x

"und was ist an meinem obigen Ansatz falsch? Würde er nicht funktionieren?"

Ich erhalte die Stammfunktion x-2ln(1+e^x). Wenn du die nicht hast, dann hast du deine Substitution falsch durchgeführt.

PS: dein Fehler ist, zu glauben, dass $$\frac{1-e^x}{e^x}=1-1$$ gelten würde.

In Wirklichkeit ist das $$\frac{1}{e^x}-1$$

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-e^x = 1e^x-2e^x

Woher weißt Du das? :)

Könnte man jetzt schön per Induktion beweisen.

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Edit: 1e^x-2e^x=e^x(1-2)=-e^x

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Müsste in deinem obigen Post nicht ein * statt ein + hin bei 1*e^x-2e^x?