Definitonslücke der reellenFunktion f(x) = (2x-4)/(x^2-4) bestimmen

Question

Aufgabe:

f(x) = (2x-4)/(x^2-4)

Problem/Ansatz:

Ich habe Definitonsbereich, Nullstelle und Grenzwert gegen unendlich und minus unendlich schon gemacht. Jetzt happerts aber beim Berechnen der Definitonslücke mit ε gegen 0+.

lim x gegen -2  f(x) = lim ε gegen 0+ (2x-4)/(x^2-4)

ich weiß nicht wie es weiter geht. Ich komme bis zum Punkt wo ich faktorisiert habe. Es sollte 2 heraus kommen jedoch kommt dies bei mir nicht.

Comments

Welche Nullstelle hast du denn?

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es gibt keine, weil Der Grad des Nenners gleich dem Grad des Zählers ist.

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Gut! :-)

Du könntest nun Zähler und Nenner faktorisieren und kürzen.

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Hab ich ja aber da kommt ein falsches Ergebnis heraus.

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Hm... ich habe

f(x) = (2x-4)/(x^{2}-4) = (2*(x-2))/((x-2)*(x+2)) = 2/(x+2).

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Du kannst erkennen, dass die Funktion für \(x=-2\) einen Pol aufweist, die Grenzwertbetrachtung kannst du dir sparen.

Für \(x=2\) besitzt die Funktion eine Definitionslücke, die du mit \(f(2)=2/(2+2)=1/2\) (im gekürzten Funktionsterm) stetig heben kannst. Auch hier kann man sich die Grenzwertbetrachtung sparen.

Answer 1

Du kannst kürzen:

2x-4 = 2(x-2)

x^2-4 = (x-2)(x+2)

x= 2 ist eine hebbare Lücke → f(x) = 2/(x+2)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(2x-4)%2F(x%5E2-4)

Bei x=-2 liegt ein Pol vor.

Answer 2

Der Nenner x²-4 darf nicht Null sein.Um die Definitionslücken zu bestimmen, setzen wir x²-4=0.Die dritte binomische Formel macht daraus (x-2)(x+2)=0. Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist. Die Definitionslücken liegen bei x=2 und bei x=-2.

Außerdem kann man den Zähler so schreiben 2·(x-2) und einen Faktor gegen den gleichen Faktor im Nenner kürzen. Dann heißt der Funktionsterm 2/(x+2). bei x=2 ligt eine hebbare Definitionslücke. Der rechtsseitige Grenzwert ist ebenso, wie der linksseitige 1/2.

Comments

Ok, aber wie berechne ich dann die Lücke bei x = 2?

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aber wie berechne ich dann die Lücke bei x = 2?

Die hast du doch schon gefunden.

Du willst den Grenzwert an der Stelle x=2 bestimmen(?)

f(x) = (2x-4)/(x^2-4)          

Nach dem Kürzen hast du

g(x) = 2/(x+2)  für x≠2 

Graphisch (ich addiere 1 bei der gekürzten Version. Du kannst die 1 im Link einfach wegradieren.

~plot~ 2/(x+2)+1;(2x-4)/(x^2-4);x=2 ~plot~

Der Graph von f hat bei x=2 ein (unsichtbares Loch).

g(x) ist überall stetig, ausser bei x=-2. Du kannst bei

g(x) = 2/(x+2)  für x≠2

gefahrlos x=2 einsetzen.

g(x) = 2/(2+2) = 1/2

Die Definitionslücke von f bei x=2 hebbar. Du kannst definieren f(2):= 1/2 . Das ist gleichzeitig der links- und der rechtsseitige Grenzwert von f(x) bei x=2.