Integration mit Bruch ohne Substitution

Question

Aufgabe:

(x-1)(x+1) : 2x^3-2x

Problem/Ansatz:

Der Bruch soll integriert werden.

Jedoch hab ich keine Ahnung wie das gehen soll.

Im Zähler steht eine Binomische Formel.

Der Zähler ist jedoch weder die Ableitung vom Nenner, noch lässt sich eine Polynomdivison machen.

Comments

Du meinst $$\frac{(x-1)(x+1)}{2x^3 - 2x}$$und nicht so wie Du es geschrieben hast$$(x-1)(x+1) \div 2x^3-2x = \frac{(x-1)(x+1)}{2x^3 }- 2x$$oder?

Answer 1

Hallo,

du kannst den Nenner umformen in

\(2x^3-2x=2x(x^2-1)=2x(x+1)(x-1)\)

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia,
du meinst sicher "den Nenner" ;-)

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Ach herrje, natürlich. Ich ändere das, danke dir!

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Dankeschön :))

Answer 2

Verwende Partialbruchzerlegung.

Answer 3

f(x) = (x - 1)·(x + 1) / (2·x^3 - 2·x)
f(x) = (x - 1)·(x + 1) / (2·x·(x^2 - 1))
f(x) = (x - 1)·(x + 1) / (2·x·(x + 1)·(x - 1))
f(x) = 1 / (2·x)
f(x) = 0.5·1/x

F(x) = 0.5·LN(x)

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Dankeschön :))

Answer 4

Aloha :)

Du hast bereits den entscheidenen Hinweis selbst gegeben:

"Im Zähler steht eine binomische Formel."

$$\phantom=\int\frac{\green{(x+1)(x-1)}}{2x^3-2x}\,dx=\int\frac{\green{x^2-1}}{\pink{2x}\cdot x^2-\pink{2x}\cdot1}\,dx=\int\frac{\green{x^2-1}}{\pink{2x}\cdot(\green{x^2-1})}\,dx$$$$=\int\frac{1}{\pink{2x}}\,dx=\frac12\int\frac1x\,dx=\frac12\ln|x|+\text{const}$$

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Dankeschön :))