Für welche Skalare λ,µ ∈ K bilden die Vektoren a = (λ,µ) und b = (µ,λ) eine Basis des Standardvektorraumes V = K2?

Question

Aufgabe:

.  Sei K ein Körper. Für welche Skalare λ,µ ∈ K bilden die Vektoren a = (λ,µ) und b = (µ,λ) eine Basis des Standardvektorraumes V = K2?

Answer 1

Dazu müssen a und b lin. unabh. sein.

Zwei linear unabhängige bilden immer eine

Basis der 2-dim VR  K^2 .

Also Ansatz   x*a + y*b = 0-Vektor

gibt das Gl. System

 λx  + μy = 0
 μx  +λy  = 0

lin. unabh. sind a und b, wenn das

die einzige Lösung x=y=0 hat, das ist der

Fall, wenn die Det.. des Systems nicht 0 ist,

also   λ^2  -   μ^2   ≠   0

<=>  ( λ -   μ )*( λ +   μ )  ≠   0

<=>   λ   ≠     μ        und   λ ≠     -μ

Comments

Wie kann man dies zeigen, falls die Determinante noch nicht eingeführt wurde? Das Prinzip der DET ist mir klar, aber das LGS könnte ich halt ohne auch nicht lösen.

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Dann nimmst du ein anderes Lösungsverfahren,

etwa Additionsverfahren

λx  + μy = 0      | * μ
 μx  +λy  = 0     | * -λ

----------------------

λ μx  + μ^2 y = 0

-λμx  - λ^2 y  = 0     addieren gibt

-------------------------

        μ^2 y  - λ^2 y  = 0

        ( μ^2   - λ^2 ) * y  = 0

Hier folgt y=0 nur falls   ( μ^2   - λ^2 ) ≠ 0

und da weiter wie gehabt.