Funktionsschar untersuchen: fa(x)= -ax^3+4ax

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsschar fa mit fa(x)= -ax^3+4ax

1. Aufgabe: Begründen Sie, dass alle Graphen der Funktionsschar punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen.

2. Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa durch die Punkte P(-2/0) und Q(2/0) verlaufen.

3. Zeigen Sie, dass alle Grapen von fa genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt besitzen.

4. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente von fa und berechnen Sie, für welchen Wert von a diese Tangente die Steigung m= 8 hat.

Comments

Da du ja die Lösungen der Aufgabe schon hast, schreib doch einfach mal deine Antworten auf, und wir werden bestätigen oder Tipps geben, worüber du nochmal neu nachdenken müsstest.

Answer 1

1. Aufgabe: Begründen Sie, dass alle Graphen der Funktionsschar punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen.

Zu zeigen: f_a(x)=-f_a(-x) Etwa so: f_a(x)= -ax³+4ax;  f_a(-x)= ax³-4ax;   -fa(-x)= -ax3+4ax.

2. Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa durch die Punkte P(-2/0) und Q(2/0) verlaufen.

 -ax³+4ax =-ax(x²-4)=-ax(x-2)(x+2). Daher sind x₁=-2 und x₂=2 Nullstellen.

3. Zeigen Sie, dass alle Grapen von f_a genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt besitzen.

f_a'(x)=-3ax²+4a hat zwei Nullstellen.

Answer 2

Hallo Aurelia,

$$f_a(x)=-ax^3+4ax\\f_a'(x)=-3ax^2+4a\\f_a''(x)=-6ax$$

1. Aufgabe: Begründen Sie, dass alle Graphen der Funktionsschar punktsymmetrisch zum Ursprung verlaufen.

Es gibt in dieser Gleichung nur x mit ungeraden Exponenten (1 und 3)

2. Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa durch die Punkte P(-2/0) und Q(2/0) verlaufen.

Du setzt in die Ausgangsgleichung für x "-2" ein und prüfst, ob das Ergebnis 0 ist. Das Gleiche machst du für x = 2

3. Zeigen Sie, dass alle Grapen von fa genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt besitzen.

Du setzt die erste Ableitung = 0 und erhältst zwei Ergebnisse. Anschließend setzt du diese in die zweite Ableitung ein und prüfst, für welche Werte von a das Ergebnis kleiner null ist (Hochpunkt) und für welche größer (Tiefpunkt).

4. Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente von fa und berechnen Sie, für welchen Wert von a diese Tangente die Steigung m= 8 hat.

Du bestimmt den Wendepunkt, indem du die zweite Ableitung = 0 setzt. Anschließend setzt du das Ergebnis in die erste Ableitung ein, um die Steigung in diesem Punkt zu bestimmen. Dann berechnest du, für welche Werte von a sie den Wert 8 annimmt.

Gruß, Silvia