Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa(x)=-ax^3+4ax (a ≠ 0)

Question

! Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Meinen Lösungsweg habe ich hinzugefügt.

c) Zeigen Sie, dass alle Graphen von fa genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt besitzen.

Mein Lösungsweg:

fa(x) = -ax^3+4ax

f'a(x) != 0

f'a(x) = -3ax^2+4a |-4a

-4a = -3ax^2 | /(-3)

4/3a = ax^2 | / a

4/3 = x^2 | ±√

-√4/3 = x1

√4/3 = x2

Nun komme ich hierbei nicht weiter.

d)

Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente von fa und berechnen Sie, für welchen Wert von a diese Tangente die Steigung m = 8 hat.

f''a(x) = - 6ax

f'''a(x) = -6a

f''a(x) != 0

0 = -6ax | / x

x = -6a

f''' ( -6a) = -6a

f'''a(-6a) ≠ 0, also ist -6a eine Wendetangente.

Hier stecke ich ebenfalls fest.

Danke für die Hilfe im Voraus!

Answer 1

-√4/3 = x1

√4/3 = x2

Nun komme ich hierbei nicht weiter.

Brauchst nur noch   f ' ' (-√4/3 ) = - 6 * a * -√4/3  > 0   also Tiefpunkt bei x = -√4/3

und     f ' ' (√4/3 ) = 6 * a * -√4/3  < 0   also Hochpunkt bei x = -√4/3 .

f''a(x) != 0

0 = -6ax

Das gibt  a = 0 oder x =0 


Da a=0 ausgeschlossen ist, gibt es  x=0

und

f''' ( 0) = -6a

f'''a(0) ≠ 0, also ist bei x=0  ein  Wendepunkt.  Und zwar  W ( 0 ; 0 )

Die Tangente in dem Punkt ist die Wendetangente.  Sie hat die Steigung


f ' ( 0) =  4a    Also Tangentengleichung    y =  4ax 


Also m=8   wenn   4a=8   Das sit für a=2  der Fall.

Comments

Du sagst: und     f ' ' (√4/3 ) = 6 * a * -√4/3  < 0   also Hochpunkt bei x = -√4/3 .

Das - vor dem 6 darf aber nicht wegfallen, und du hast -√4/3 als x eingesetzt, nicht √4/3. Also müsste es doch so sein:
 f ' ' (√4/3 ) = -6 * a * √4/3  <0   also Hochpunkt bei x = √4/3 .
Das Ergebnis stimmt dennoch.