Nullstelle Polynom 5. Grades

Question

Zeigen Sie, dass das Polynom

$$p ( x ) = x ^ { 5 } - 9 x ^ { 4 } - \frac { 82 } { 9 } x ^ { 3 } + 82 x ^ { 2 } - 9$$

auf dem Intervall [-1, 4] genau drei Nullstellen besitzt.

Ich habe versucht eine Nullstelle zu erraten, damit ich die Polynomdivision anwenden kann, aber keine gefunden. Wie geht man vor, wenn das nicht klappt?

Answer 1

Hi Morl,


da wirst Du wahrscheinlich mit einer Tabelle am besten fahren.

x	-∞	-1	0	1	4	∞
y	-	+	-	+	-	+

Ich habe hier ein paar Zahlenwerte genommen um zu schauen, welches Vorzeichen das y hat. Dabei ist x = ±∞ direkt an der Funktion selbst zu sehen (Das ist klar, wie?). Für jeden Vorzeichenwechsel braucht es (mindestens) eine Nullstelle.

Wie Du sehen kannst, hab ich fünf Intervalle gefunden, wo es Nullstellen geben muss. Da es maximal 5 Nullstellen geben kann (immerhin haben wir ein Polynom 5ten Grades), haben wir damit alle gefunden und alles sind einfache Nullstellen.

Da siehst Du das im gesuchten Intervall genau 3 Nullstellen zu finden sind (da zwei Nullstellen außerhalb des gesuchten Intervalls sein müssen) ;).


Grüße

Comments

aaah stimmt das macht natürlich Sinn! 
Aber in der Aufgabenstellung heißt es ja, dass genau 3 Nullstellen nachzuweisen sind. Aber mit der Vorgehensweise mit der Tabelle kann man doch lediglich mindestens 3 Nullstellen nachweisen. Es könnten von daher doch auch mehr sein, richtig?

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Das es genau drei Nullstellen sind, habe ich im letzten Abschnitt gezeigt -> zwei Nullstellen sind außerhalb des Intervalls zu finden. 2+3 = 5 -> Das ist die maximal mögliche Anzahl an Nullstellen. ;)

Answer 2

Versuche es mal über Newtonsche Approximation (Annäherungsverfahren). Dieses Verfahren gebrauchst Du, wenn Du keine ganze Zahlen als Nullstellen erhältst.

Answer 3

Die Vorzeichenregel von René Descartes, übrigens auch derjenige, der den bekannten Satz "cogito ergo sum" sagte, gibt einen guten ersten Einblick, wie viele Nullstellen denn überhaupt exisitieren. Die Vorzeichenregel lautet:

"Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als diese, wobei jede Nullstelle ihrer Vielfachheit entsprechend gezählt wird."$$p(x)=x^5-9x^4-\frac{82}{9}x^3+82x^2-9$$ Innerhalb der Koeffizientenfolge sind drei Vorzeichenwechsel enthalten. Daraus folgt, dass das Polynom entweder eine oder drei Nullstellen besitzt."

Charles-François Sturm war vielleicht nicht der größte Denker, aber ein ausgezeichneter schweizer Mathematiker. Er entwickelte die Sturmsche Kette, mit dem sich die Anzahl der Nullstellen eines reellen Polynoms in einem gegebenen Intervall berechnen lässt.

Bilde die Sturmsche Kette, multipliziere zuvor das Polynom mit \(\cdot 9\):$$P_0: \quad 9x^5-81x^4-82x^3+738x^2-81$$$$P_1: \quad 15x^4-108x^3-82x^2+492x$$$$P_2: \quad 3736x^3-8856x^2-13284x+2025$$$$P_3: \quad 13984772x^2-15792087x-2740311$$$$P_4: \quad  221554871893x-13904118225$$$$P_5: \quad  1$$ Du setzt nun die Intervallgrenzen in die \(P_n\) ein und guckst, ob sie ein negatives oder positives Vorzeichen haben:

Wir haben also eine Differenz von \(\Delta=4-1=3\), d. h., dass es Intervall drei Nullstellen gibt