lineare unabhaengigkeit in R2 und R3

Question

Aufgabe:

Lineare Unabhängigkeit in \( \mathbb{R}^{2} \) und \( \mathbb{R}^{3} \) (4)

a) Zeigen Sie, dass zwei Vektoren \( \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) genau dann linear unabhängig sind, wenn

\( \operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ y_{1} & y_{2} \end{array}\right):=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1} \neq 0 \)

b) Entscheiden Sie, ob die folgenden drei Vektoren im \( \mathbb{R}^{3} \) linear unabhängig sind:

\( u:=(1,1,0), v:=(0,1,1), w:=(1,0,1) \)

c) Ersetzen Sie \( w \) durch

\( w^{\prime}:=(1,0,-1) \)

Sind \( u, v, w^{\prime} \) linear unabhängig?

Comments

Hallo mervec,
zu b)

Wenn die drei Vektoren voneinander abhängig sind, muss sich ein Vektor als Kombination der beiden anderen Vektoren darstellen lassen:
x * u + y * v = w

x * (1|1|0) + y * (0|1|1) = (1|0|1)

x * 1 + y * 0 = 1 | x = 1

x * 1 + y * 1 = 0 | 1 + y = 0 | y = -1

x * 0 + y * 1 = 1 | -1 = 1 unwahr, deshalb keine lineare Abhängigkeit

Die Vektoren sind linear unabhängig.


zu c)

gleiches Vorgehen:
x * u + y * v = w'

x * (1|1|0) + y * (0|1|1) = (1|0|-1)

x * 1 + y * 0 = 1 | x = 1

x * 1 + y * 1 = 0 | 1 + y = 0 | y = -1

x * 0 + y * 1 = -1 | -1 = -1 wahr, diese Vektoren sind linear abhängig.


Besten Gruß

---

dankeschön für deine Antwort

hat jemand idee für a?????

Answer 1

Idee zu a)

wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind, dann muss gelten: 

a * (x₁|y₁) = (x₂|y₂)

also

a * x1 = x₂

und 

a * y₁ = y₂

Dann ist 

x₁y₂ - x₂y₁ =

x₁*a*y₁ - a*x₁*y₁ =

0

 

Wenn sie dagegen linear unabhängig sind, gilt mit a≠b:

a * x₁ = x₂

b * y₁ = y₂

Dann ist 

x₁y₂ - x₂y₁ =

x₁*b*y₁ - a*x₁*y₁ = 

x₁*y₁*(b-a) ≠ 0, wenn x₁ ≠ 0 und y₁ ≠ 0