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Aufgabe:

Sind die folgenden 3 Matrizen linear unabhaengig?

(110001)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)


(201110)\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)


(100010)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)


Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher, wie ich hier vorgehen soll. Ich habe das ganze noch nie für Matrizen gemacht. Erstmal der normale Ansatz, wie ich das bei Vektoren machen wuerde:


λ1(110001)+λ2(201110)+λ3(100010)=(000000)\lambda_1 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) + \lambda_2 \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) + \lambda_3 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)


So und jezt? Guckt man sich das ganze spaltenweise an? Dann wuerde ich mit Gauss erstmal die ersten Spalten loesen:

(12100100)\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{array} \right)

Jetzt habe ich ja aber mehr Spalten als Zeilen und das gibt mir ja unendlich viele Lösungen, oder?

Sind die Matrizen also linear abhaengig?

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λ1(110001)+λ2(201110)+λ3(100010)=(000000)\lambda_1 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) + \lambda_2 \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) + \lambda_3 \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)

Das gibt 6 Gleichungen

λ1+2λ2+λ3=0\lambda_1 +2\lambda_2 +\lambda_3 = 0 und

λ1+0λ2+0λ3=0\lambda_1+0\lambda_2 +0\lambda_3 = 0 und

0λ1+1λ2+0λ3=00\lambda_1+1\lambda_2 +0\lambda_3 = 0 und

0λ1+1λ2+0λ3=00\lambda_1+1\lambda_2 +0\lambda_3 = 0 und 

0λ1+1λ2+1λ3=00\lambda_1+1\lambda_2 +1\lambda_3 = 0 und

1λ1+0λ2+0λ3=01\lambda_1+0\lambda_2 +0\lambda_3 = 0

Die 2. und 3. ergeben schon

λ1=0undλ2=0 \lambda_1=0 und \lambda_2= 0

und zusammen mit der ersten also:

Alle Lambdas müssen 0 sein

==>  Matrizen sind lin. unabh.

 

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Man guckt sich das ganze komponentenweise an:

Wenn (abcdef)=(ghkmnp)\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g&h&k\\m&n&p \end{pmatrix} ist, dann ist

a=ga = g
b=hb = h
c=kc=k
d=md=m
e=ne=n
f=pf=p

Du bekommst also sechs Gleichungen mit drei Unbekannten.

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wenn du die linke Seite deiner Gleichung zusammenfasst, erhältst du

⎡ λ1 + 2·λ2 + λ3        λ1        λ⎤    =    ⎡ 0  0  0 ⎤      
⎣      λ2                 λ2 + λ3     λ1 ⎦          ⎣ 0  0  0 ⎦

das ergibt direkt   λ1 = λ2 = 0   und damit  λ3  = 0

Gruß Wolfgang

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