Lineare Unabhaengigkeit von Matrizen zeigen

Question

Aufgabe:

Sind die folgenden 3 Matrizen linear unabhaengig?

$$\left( \begin{array}{ccc} 1      & 1 & 0  \\    0     & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$$

$$\left( \begin{array}{ccc} 2    & 0 & 1  \\   1  & 1 & 0 \\ \end{array} \right)$$

$$\left( \begin{array}{ccc} 1     & 0 & 0  \\   0    & 1 & 0 \\ \end{array} \right)$$

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher, wie ich hier vorgehen soll. Ich habe das ganze noch nie für Matrizen gemacht. Erstmal der normale Ansatz, wie ich das bei Vektoren machen wuerde:

$$\lambda_1 \left( \begin{array}{ccc} 1      & 1 & 0  \\   0    & 0 & 1 \\ \end{array} \right) + \lambda_2 \left( \begin{array}{ccc} 2    & 0 & 1  \\   1  & 1 & 0 \\ \end{array} \right) + \lambda_3 \left( \begin{array}{ccc} 1    & 0 & 0  \\   0    & 1 & 0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0    & 0 & 0  \\   0    & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$

So und jezt? Guckt man sich das ganze spaltenweise an? Dann wuerde ich mit Gauss erstmal die ersten Spalten loesen:

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1    & 2 & 1 & 0\\   0    & 1 & 0 & 0\\ \end{array} \right)$$

Jetzt habe ich ja aber mehr Spalten als Zeilen und das gibt mir ja unendlich viele Lösungen, oder?

Sind die Matrizen also linear abhaengig?

Answer 1

$$\lambda_1 \left( \begin{array}{ccc} 1      & 1 & 0  \\   0    & 0 & 1 \\ \end{array} \right) + \lambda_2 \left( \begin{array}{ccc} 2    & 0 & 1  \\   1  & 1 & 0 \\ \end{array} \right) + \lambda_3 \left( \begin{array}{ccc} 1    & 0 & 0  \\   0    & 1 & 0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0    & 0 & 0  \\   0    & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$

Das gibt 6 Gleichungen

$$\lambda_1 +2\lambda_2 +\lambda_3 = 0 $$ und

$$\lambda_1+0\lambda_2 +0\lambda_3  = 0 $$ und

$$0\lambda_1+1\lambda_2 +0\lambda_3  = 0 $$ und

$$0\lambda_1+1\lambda_2 +0\lambda_3  = 0 $$ und 

$$0\lambda_1+1\lambda_2 +1\lambda_3  = 0 $$ und

$$1\lambda_1+0\lambda_2 +0\lambda_3  = 0 $$

Die 2. und 3. ergeben schon

$$ \lambda_1=0  und  \lambda_2= 0 $$

und zusammen mit der ersten also:

Alle Lambdas müssen 0 sein

==>  Matrizen sind lin. unabh.

 

Answer 2

Man guckt sich das ganze komponentenweise an:

Wenn \(\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g&h&k\\m&n&p \end{pmatrix}\) ist, dann ist

\(a = g\)
\(b = h\)
\(c=k\)
\(d=m\)
\(e=n\)
\(f=p\)

Du bekommst also sechs Gleichungen mit drei Unbekannten.

Answer 3

wenn du die linke Seite deiner Gleichung zusammenfasst, erhältst du

⎡ λ₁ + 2·λ₂ + λ₃        λ₁        λ₂ ⎤    =    ⎡ 0  0  0 ⎤      
⎣      λ₂                 λ₂ + λ₃     λ₁ ⎦          ⎣ 0  0  0 ⎦

das ergibt direkt   λ₁ = λ₂ = 0   und damit  λ₃  = 0

Gruß Wolfgang