Lineare Unabhängigkeit von Matrizen (als Basiselemente) zeigen. + Zeigen dass Abbildung linear ist.

Question

Gegeben: $$ σ_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},  σ_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},  σ_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix},  σ_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. $$

Aufgabe:

a) Zeigen, dass das Tupel \((σ_0,σ_1,σ_2,σ_3)\) eine Basis des Komplexen Vektorraumes \(Mat_{2x2}(\mathbb{C})\) der 2x2-Matrizen bildet. 

b) Zeige dass die Abbilding T linear ist: $$T: Mat_{2x2}(\mathbb{C}) → Mat_{2x2}(\mathbb{C}) \\X ↦ XB - BX,$$

wobei B = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz zu a)

Ich weiss dass Grundsätzlich gelten muss, 

1. ) \(σ_0,σ_1,σ_2,σ_3 ∈ Mat_{2x2}(\mathbb{C}). \)

Auch muss gelten dass:

2. ) \(⟨σ_0,σ_1,σ_2,σ_3⟩ = Mat_{2x2}(\mathbb{C}).\)

Zusätzlich aber noch dass:

3. ) \(σ_0,σ_1,σ_2,σ_3\) linear Unabhängig sind.


Wie zeige ich 1,2,3 für a ? 

1. Weiss ich nicht. 
2. Durch Linearkombination: \(a*σ_0+ b*σ_1+c*σ_2+dσ_3 =\) Die Menge aller 2x2 Matrizen über C. 
3. Weiss ich nicht. Mit Vektoren konnte ich alles in eine Grosse Matrix packen und per Gauss in ZSF bringen, wenn ich aber Matrizen als Basiselemente habe, weiss ich nicht wie ich vorgehen soll. 


Wie zeige ich b ) ?
Es soll die Homogenität und Linearität gelten. 
Wie ich das bei diesen Matrix-Basiselementen zeigen kann, ist mir unklar. 
Wie erwähnt, bei Vektoren kann ich das. 



Frage:
Kann mir jemand 1 und 3 zeigen, im Idealfall vorführen ? 

Kann mir jemand erklären wie ich Homogenität und Linearität bei Matrizen zeigen kann ? 

Answer 1

Wie zeige ich 1,2,3 für a ? 

1. Weiss ich nicht.   Offenbar sind alle 4 Matrizen vom Typ 2x2 und die

Einträge in der Matrix sind komplexe Zahlen. Also fertig.

2. Durch Linearkombination: a∗σ0+b∗σ1+c∗σ2+dσ3=a∗σ0+b∗σ1+c∗σ2+dσ3= Die Menge aller 2x2 Matrizen über C.

Falls du weisst, dass dim=4 ist, genügt es 3. zu zeigen.

Ansonsten mache so einen Ansatz wie

a∗σ0+b∗σ1+c∗σ2+dσ3   =     s        t
                                              u        v

mit beliebigen s,t,u,v aus C und setze für die σ die Matrizen ein.

Durch Betrachtung jeder Stelle in der Matrix bekommst du ein Gleichungssystem

für a,b,c,d und zeigst, dass es für alle Werte von s,t,u,v lösbar ist.
                                               
3. Weiss ich nicht.

Hier machst du den Ansatz

 a∗σ0+b∗σ1+c∗σ2+dσ3   =    0   0
                                              0    0

und zeigst, dass das entsprechende Gl.-sytsem nur die

Lösung a=b=c=d=0  hat.