Lineare Unabhängigkeit: Zeige, dass die Vektoren a + b, a + c, b + c linear unabhängig sind.

Question

Aufgabe:

Zeige das die Vektoren a + b, a + c, b + c linear unabhaengig sind.

a, b, c sind Element R^n und linear unabhängig. (EDIT: Ergänzt) 

Problem/Ansatz:

Wie kann ich hier am besten anschrieben, dass die linear unabhaengig sind, oder reicht es schon wenn ich schreibe:

c1*(a+b) + c2*(a+c) + c3*(b+c) = 0

Comments

Es fehlt sicherlich die Information, dass die Vektoren a,b und c linear unabhängig sind.

Answer 1

Vermutlich ist auch vorausgesetzt, dass a,b,c lin. unabh. sind.

Dann kannst du so argumentieren:

Seien c1, c2, c3 aus R mit c1*(a+b) + c2*(a+c) + c3*(b+c) = 0

Dann gilt auch

(c1+c2)*a + (c1+c3)*b + (c2+c3)*c = 0

UND WEIL a,b,c lin. unabhängig sind folgt

c1+c2 = 0   und  c1+c3=0  und  c2+c3=0

woraus c1=c2=c3=0 folgt, also

sind a + b, a + c, b + c  ebenfalls linear unabhaengig .