Man darf konvergente Reihen gliedweise addieren.
Wenn also \(\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{3^n}\) und \(\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n\cdot(n+1)}\) konvergieren, dann gilt
\(\sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{3^n} + \frac{1}{n\cdot(n+1)}\right) = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{3^n} + \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n\cdot(n+1)}\).
\(\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{3^n}\) ist eine geometrische Reihe. Sie konvergiert wegen \(\left|\frac{1}{3}\right| < 1\). Berechne den Grenzwert mit der Formel für geometrische Reihen.
\(\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n\cdot(n+1)}\) hat die Dirchletreihe \(\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{n^2}\) als Majorante, konvergiert also ebenfalls. Berechnung der Partialsummen mit einem CAS liefert zum Beispiel
\(\sum_{i=1}^{1337} \frac{1}{n\cdot(n+1)} = \frac{1337}{1338}\)
zutage. Das ist doch bestimmt für eine Vermutung und einen anschließenden Beweis über den Grenzwert geeignet.
