Folgere: Im Ring Z/nZ ist jedes Element entweder Einheit oder Nullteiler

Question

Aufgabe:

Folgern Sie, dass in Z/nZ jedes Element entweder EInheit oder Nullteiler ist. Geben Sie ein Beispiel für einen Ring an, in dem es Elemente gibt, die weder Nullteiler noch Einheit sind.

Problem/Ansatz:

Wenn n >= 2, dann ist in Z/nZ jedes Element entweder Nullteiler oder Einheit, denn

[a] ∈ Z/nZ ist Nullteiler ⇔ ggT(a,n) ≠ 1 
[a] ∈ Z/nZ ist Einheit ⇔ ggT(a,n) = 1

Kann man das so argumentieren? Und kann mir vielleicht jemand bei dem Beispiel-Ring helfen? 

Vielen Dank vorab!

Comments

Sind das zwei Teilaufgaben?

a) Folgern Sie, dass in Z/nZ jedes Element entweder EInheit oder Nullteiler ist.

b) Geben Sie ein Beispiel für einen Ring an, in dem es Elemente gibt, die weder Nullteiler noch Einheit sind.

a) sollte sich aus dem ergeben, was vorher gemacht wurde (ohne Rechnung)

b) müsste dann etwas anderes als Z/nZ sein.

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Wie wär's mit ℤ?

Answer 1

Wenn in einem Ring jedes Element entweder EInheit oder Nullteiler ist, kann man keinen Ring angeben, in dem es Elemente gibt, die weder Nullteiler noch Einheit sind.

Comments

Hallo Roland, danke für die Rückmeldung! Leider verstehe ich nicht ganz, was du mir damit sagen willst..

Beziehst du dich auf das Beispiel? Also kann man da gar kein Beispiel angeben?

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So meine ich es. Wenn es allerdings noch andere Ringe gibt, die nicht den Namen Z/nZ tragen, stimmt das nicht unbedingt.

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Vielen Dank! :)