Zeige, dass jede konvergente Folge (xn) reeller Zahlen beschränkt ist

Question

(a) Zeige ausgehend von den Definitionen, dass jede konvergente Folge (x_n) reeller Zahlen beschränkt ist.

(b) Seien (x_n), (y_n) und (z_n) reelle Zahlenfolgen, so dass (x_n) beschränkt und (y_n) eine gegen y = 0 konvergente Folge ist, sowie (z_n)
∃N₀∈ℕ ∀n≥N₀ : |z_n| ≤ x_ny_n
erfüllt.

Beweise ausgehend von der Definition, dass (z_n) ebenfalls gegen 0 konvergiert; gebe dazu das N_ε an, so dass |z_n−0|< ε für   n > N_ε.

Comments

a) lässt sich wie hier zeigen https://www.mathelounge.de/22116/zeigen-sie-jede-in-c-konvergente-folge-ist-beschrankt

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∃N0∈ℕ ∀n≥N0 : |zn| ≤ xnyn

Sicher, dass hier nur links Betragszeichen vorkommen?

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ja, die Betragszeichen kommen nur links vor. LG

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Hallo

 diese Ungleichung ist so sicher falsch |z_n| ist immer positiv, x_n*y_n kann aber auch für beliebige n>N negativ sein, es sei denn es gibt zusätzliche Vors zu x_n und y_n Beispiel yn=-1/n konvergiert gegen 0 x_n=1 z_n=x_n*y_n  und |zn|< -1/n für kein n

Gruß lul

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@lul: Das scheint eine (ungewöhliche) Voraussetzung zu sein. Zumindest las ich den Text so heute Mittag.

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@lul , @Lu so steht es auf dem Arbeitsblatt.

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Man müsste die exakt formulierte Frage sehen. Anhand dieser Zeile, kann man nicht unbedingt entscheiden, ob das eine Voraussetzung sein soll.

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Die exakt forumulierte Frage ist diese:

(b) Seien (x_n), (y_n) und (z_n) reelle Zahlenfolgen, so dass (x_n) beschränkt und (y_n) eine gegen y=0 konvergente Folge ist, sowie (z_n)

erfüllt. Beweise ausgehend von der Definition, dass (z_n) ebenfalls gegen 0 konvergiert; gebe dazu das N_ε an, so dass |z_n−0|< ε für  n > N_ε.