Flugbahnen schneiden sich, Flugzeuge kollidieren jedoch nicht

Question

Aufgabe:

Ich hab hier die Fluggeraden zweier Flugzeuge berechnet, diese lauten:
gF1: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 4\\-6\\10 \end{pmatrix} \) + r \( \begin{pmatrix} 10\\-5\\1 \end{pmatrix} \)
gF2: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} -12\\-40\\5 \end{pmatrix} \) + s \( \begin{pmatrix} 12\\8\\1 \end{pmatrix} \)
und soll nun beweisen, dass die Flugbahnen sich schneiden, es jedoch zu keinem Zusammenstoß kommt.

Beim Berechnen des Schnittpunkts hab ich s=3 und r=2 raus, und den Schnittpunkt S(24/-16/8)

Jetzt bin ich mir unsicher, ich wollte die Entfernung der Flugzeuge zum Schnittpunkt berechnen, wenn die Entfernung unterschiedlich ist, hab ich doch somit bewiesen dass diese nicht kollidieren können, richtig?
Als ich mir dann Aufgabe b) angschaut habe, steht dort:Berechnen Sie die Entfernung beider Flugzeuge zu dem Zeitpunkt, an dem Flugzeug1 den gemeinsamen Punkt beider Flugbahnen erreicht.

Ist das nicht dasselbe, wie ich es in Aufgabe a) machen würde?

Comments

Bitte die gesamte Aufgabe vorstellen.

Weiß man beiläufig was über die Geschwindigkeiten der Flugzeuge und wo zu einem definierten Zeitpunkt sind - unterschiedliche Entfernung bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten kann zu einem Zusammentreffen führen...

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Flugzeug1 durchfliegt auf einer geradlinigen Flugbahn Punkt P1(4/-6/10) und eine Minute später P2( 14/-11/9). Zeitgleich fliegt Flugzeug2 Punkt Q1(-12/-40/5) und eine Minute später Q2(0/-32/6)( Angaben in km)
a) ermitteln Sie die Fluggeraden beuder Flugzeuge sowie ihre Geschwindigkeiten. Zeigen Sie, dass die beiden Flugbahnen sich schneiden, jedoch keine Gefahr eines Zusammenstoßes besteht.
b)Berechnen Sie die Entfernung beider Flugzeuge zu dem Zeitpunkt, an dem Flugzeug1 den gemeinsamen Punkt beider Flugbahnen erreicht.

Answer 1

[4, -6, 10] + r·[10, -5, 1] = [-12, -40, 5] + s·[12, 8, 1] → Keine Lösung

Bei der ersten Geraden sollte vermutlich eine -1 als z-Koordinate im Richtungsvektor stehen.

[4, -6, 10] + r·[10, -5, -1] = [-12, -40, 5] + s·[12, 8, 1] --> r = 2 ∧ s = 3

Flugzeug 1 durchfliegt den Schnittpunkt nach 2 ZE (Zeiteinheiten) und Flugzeug 2 nach 3 ZE.

Der Richtungsvektor sei dabei die Strecke die beide Flugzeuge in einer ZE zurücklegen und es wird ein gemeinsamer Start der Beobachtung für s = t = 0 angenommen.

b)Berechnen Sie die Entfernung beider Flugzeuge zu dem Zeitpunkt, an dem Flugzeug1 den gemeinsamen Punkt beider Flugbahnen erreicht.

ABS(([4, -6, 10] + 2·[10, -5, -1]) - ([-12, -40, 5] + 2·[12, 8, 1])) = 14.46 km

Comments

Ah, ich verstehe.

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Ich könnte noch etwwas Hilfe brauchen, wenn es denn nichts ausmacht...
c) Ich soll die Gleichung der Ebene ermitteln in der beide Flugbahnen liegen
Da hab ich:3x -22y+ 14z= 1544
d) Die Grenze einer Wolkenand hat den Punkt A(100/-26/2) und verläuft orthogonal zu \( \vec{n} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\12 \end{pmatrix} \). In welchen Punkt P erreicht Flugzeug1 die Wolkenwand? WIe groß ist der Winkel zischen der Flugbahn und der Wolkenwand?
Hab die Normalengleichung der Ebene gebildet, hab es in Koordinatenform umgeformt: x-2y+12z=176 und dann Schnittpunkt von Gerade und Ebene bestimmt
Mein Punkt lautet dann P(54/-31/5)
Für den Winkel hab ich die Formel des Schnittwinkels zwischen Gerade und Ebene gekommen, als Lösung hab ich 3,35° (das scheint mir etwas seltsam... ist der richtig?)
e) Durch eine vertikale Richtungsänderung fliegt Flugzeug1 ab Punkt P parallel zur Wolkenfront weiter. Geben Sie die Gleichung an, welche die neue FLugbahn beschreibt.
Ich hab mir dazu von dem Richtungsvektor der Geraden, einen weiteren ausgesucht, bei dem das Skalarprodukt der beiden 0 ergibt...
gneu : \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 54\\-31\\5 \end{pmatrix} \) + r \( \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix} \)
die letzte Frage lautet: In welchen Punkt erreicht FLugzeug1 die untere Grenze der Wolkenfront in 500m Höhe?...
DIe Geradengleichung mit \( \begin{pmatrix} 0\\0\\500 \end{pmatrix} \) gleichsetzen?

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c)

E1: 3·x - 22·y + 140·z = 1544

d)

E2: x - 2·y + 12·z = 176

(10·r + 4) - 2·(- 5·r - 6) + 12·(r + 10) = 176 --> r = 1.25

[4, -6, 10] + 1.25·[10, -5, 1] = [16.5, -12.25, 11.25]

ASIN(ABS([10, -5, 1]·[1, -2, 12])/(ABS([10, -5, 1])·ABS([1, -2, 12]))) = 13.51°

Answer 2

Dein Schnittpunkt S ist korrekt, Du hast für S bei gF1(r) r=2 (Minuten) bestimmt und bei gF2(s) s=3 (Minuten). Wenn sie zeitgleich in Q1 bzw. P1 gewesen sind dann waren sie unterschiedlich lange zum Schnittpunkt unterwegs:  F1 ist 1 Minute vor F2 am Schnittpunkt....