0 Daumen
5,1k Aufrufe

Aufgabe 6


 Die Kurse zweier Boote verlaufen im betrachteten Zeitraum geradlinig und werden durch de folgenden Gleichungen für die Kursgeraden angegeben:
Boot A: \( \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{26} \\ {13}\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{r}{-12} \\ {3}\end{array}\right) \) und Boot \( B: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}{20} \\ {40}\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}{-12} \\ {-2}\end{array}\right) \)
Alle Koordinaten sind in Kilometern, die Parameter r und s sind in Stunden angegeben. Ermitteln Sie, ob die Kursgeraden sich schneiden und ob die Boote kollidieren können, wern beide zum Zeitpunkt \( r=s=0 \) starten.


Ich habe beide in eine Gleichung gesetzt und am Ende r1=-8.5 und r2=13.5

Wie gehe ich weiter vor?

Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Deine Lösung ist nicht richtig. Die Kurslinien treffen sich im Punkt \((-41,2 | 29,8)\). Boot A ist nach 5,6h dort und Boot B eine halbe Stunde vorher - also nach 5,1h. Den Schnittpunkt der Kurslinien berechnet man durch Gleichsetzen der Kurse:

$$\begin{pmatrix} 26 \\ 13 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -12 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \\40 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}  -12\\ -2\end{pmatrix}$$

Umstellen ergibt ein Lineares Gleichungsystem mit zwei Unbekannten \(r\) und \(s\)

$$\begin{pmatrix}  -12\\ 3\end{pmatrix} r + \begin{pmatrix}  12\\ 2\end{pmatrix} s = \begin{pmatrix}  -6\\ 27\end{pmatrix}$$

bzw. in anderer Schreibweise:

$$\begin{pmatrix}  -12 & 12\\ 3 & 2\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  r\\ s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  -6\\ 27\end{pmatrix}$$

Dividiere die obere Gleichung durch -12 und ziehe danach das 3-fache der oberen von der unteren Gleichung ab:

$$\begin{pmatrix}  1 & -1\\ 0 & 5\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  r\\ s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0,5\\ 25,5\end{pmatrix}$$

Die untere Gleichung durch 5 teilen und anschließend zu der oberen addieren:

$$\begin{pmatrix}  1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}  r\\ s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  5,6\\ 5,1\end{pmatrix}$$

.. man erhält die Lösung \(r=5,6\) und \(s=5,1\). Falls noch etwas unklar ist, so frage bitte nach.

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Dies gilt nur dann, wenn man den Aufgabentext sehr großzügig interpretiert.

Aber wenn ich   -12r + 12s = -6

                                3r +  2s  = 27

habe und unten mit 3 multipliziere dann fällt doch r weg und ich habe 8s=102

Wenn ich das nach s auflöse habe ich 12.75 raus..

@hj2166: Du sprichst wie immer im Rätseln; nur kann ich das Rätsel diesmal nicht lösen. (?)

@132221: Wenn Du die untere Gleichung mit 4 (statt mit 3) multiplizierst und beide addierst, so erhältst Du

$$0r + 20 s = 102 \quad \Rightarrow s = 5,1$$

Ich hab wohl heute echt wenig geschlafen, ich danke dir :))

Es geht natürlich um die Maßeinheiten der Koordinaten der Geschwindigkeits-Vektoren.

@ hj2166: Hm!? - Längen in Kilometer, Zeit in Stunden, Geschwindigkeit in km/h - wo ist das Problem? Irgendwelche Umrechnungen von Einheiten sind IMHO nicht notwendig, so dass man die Einheiten in den Termen großzügig weglassen kann.

In der Aufgabe steht "Alle Koordinaten sind in Kilometern."

Abgesehen von der sprachlichen Schwäche ist das natürlich physikalisch falsch, aber bei großzügiger Interpretation entnimmt man daraus, dass die Geschwindigkeitskoordinaten wohl in Kilometern pro Stunde gegeben sein sollen.

Wow! - Du bist echt ein Mathematiker. Ich glaub', da habe ich genug Scheuklappen auf, dass ich das nie gesehen hätte.

Wobei man dagegen argumentiere könnte, dass mit 'Koordinate' nicht die Elemente eines Vektors, sondern eben die Positionen der Boote gemeint sind ... aber egal.

+1 Daumen

Falls deine Ergebnisse stimmen, bedeutet das, dass sich die Schiffe auf ihrem jeweiligen Kurs mit 22 Stunden Zeitunterschied an einem gemeinsamen Punkt befinden. Beantworte damit die beiden Fragen aus der Aufgabe.

Avatar von 27 k

Wie bist du auf 22 gekommen?

Dann hab ich das verstanden

$$ r_2 - r_1 = 22 $$

Ich küss dein auge

0 Daumen

Ich habe beide in eine Gleichung gesetzt und am ende r1=-8.5 und r2=13.5

Kontrolliere diese Zahlen! Das würde jetzt heissen, dass Schiff1 (Minus 8.5 ) Stunden unterwegs ist. D.h. den Schnittpunkt der beiden Kurse schon von 8.5 Stunden passiert hat, während Schiff2 erst in 13.5 Stunden dort vorbeikommt. Zu einer Kollision kann es so nicht kommen. 
Avatar von 162 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community