Extrema berechnen f(x) = 12·(x^{2/3})/(x^{2}+8)

Question

Aufgabe:

$$f\left( x \right) =12\frac { { x }^{ \frac { 2 }{ 3 }  } }{ { x }^{ 2 }+8 } $$

Extrema berechnen

Problem/Ansatz:

Um die Kandidaten für die Extrema zu bekommen habe ich die 1.Ableitung gemacht:

$${ f }^{ \prime }(x)=16\frac { 4-{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }{ ({ x }^{ 2 }+8) }^{ 2 } } $$

Dann die nullstellen -2 und 2 bekommen.

Wenn ich aber mir die Funktion zeichnen lasse, ist bei x=0 auch noch ein Extrem. Wieso bekomme ich die x=0 nicht bei der 1. Ableitung als Extremstellenkandidaten heraus?

Answer 1

Beachte den Definitionsbereich. Das ist das Intervall [0;∞[.

Die Sache mit f ' (x) = 0 gilt nur im Inneren des Definitionsbereiches.

Die Randpunkte (insbesondere den bei 0) muss man extra

betrachten. Da für alle x jedenfalls f (x) ≥ 0 gilt,

und f(0)=0 , ist also bei x=0 jedenfalls ein Randminimum.

Comments

Ich habe jetzt 3 Extrema rausbekommen, bei x=0 ein Globales Minima und bei x=-2 und x=2 Maxima. Die letzten Beiden sind aber vom Funktionswert gleich. Sind das dann 2 globale Maxima?oder lokale Maxima?

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-2 kannst du vergessen, nicht im Definitionsbereich.

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weil die 3.wurzel keine negativ werte bekommen darf?In der Aufgabe steht das x element von R ist.

Answer 2

Wieso bekomme ich die x=0 nicht bei der 1.abl als Extremstellenkandidaten heraus?

Weil an der Stelle x=0 die Kurve keine waagerechte Tangente hat.