Wie bestimme ich die funktionsgleichung einer quadratischen Funktion

Question

Bestimme die Funktionsgleichung der quadratischen Funktion f, deren graph einen Scheitelpunkt S(1|2) besitzt und durch A(3|0) geht.

F(x)=    ?

Schreibe bald meine Klausur und bekomme sowas nicht hin.

Kann mir jemand den Rechenweg zeigen und wie es funktioniert?

Answer 1

f(x) = (0 - 2)/(3 - 1)^2·(x - 1)^2 + 2 = -1/2·(x - 1)^2 + 2 = - 0.5·x^2 + x + 1.5

Comments

Könntest du mir erklären wie du drauf gekommen bist?

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Scheitelpunktform

f(x) = a * (x - Sx)^2 + Sy wenn S(Sx | Sy) der Scheitelpunkt ist

Öffnungsfaktor

a = (Py - Sy) / (Px - Sx)^2 mit einem Punkt P und dem Scheitelpunkt S.

Answer 2

Scheitelpunktform für den genannten Scheitel: f(x)=a(x-1)²+2. A(3|0) eingesetzt 0=4a+2. a=-1/2. f(x)=-1/2(x-1)²+2.

Answer 3

F ist eine quadratische Funktion also hat sie die Form:

F(x) = a*x^2 + b*x + c

Der Scheitelpunkt liegt bei x = 1 d.h. F'(1) = 0

F'(1) = 2*a*1 + b = 0

Da der Punkt (1|2) auf der Parabel liegt gilt:

2 = F(1) = a*1^2 + b*1 + c = a + b +c

Da der Punkt (3|0) auf der Parabel liegt gilt:

0 = F(3) = a*3^2 +b*3 + c = a*9 + b*3 + c

2-0 = F(1)-F(3) = a+b+c-(9a +3b +c) = -8a-2b (Gleichungen subtrahieren)

Wir haben:

1:  2*a + b = 0 und 2:  -8a-2b = 2

2a+b =0 |*2

4a + 2b = 0

Beide addieren:

2 + 0 = -8a -2b +4a +2b=-4a

2=-4a |:(-4)

a=-1/2

In Gleichung einsetzen

2a+b = 0

2*(-1/2) + b =0

-1 +b = 0

b =1

und

a + b +c =2

-1/2 +1 +c =2

1/2 +c = 2

c = 1.5

Wir erhalten:

a = -1/2 , b = 1 und c = 1.5

Probe:

F(3) = (-1/2)*9 +3+1.5=-4,5 +4,5 = 0

F(1) = (-1/2) + 1+1,5 = 2

F'(1) = 2*(-1/2) + 1 = -1 +1 = 0