Längenverhältnis Radius zu Quadratseite

Question

Aufgabe: Zwei gleichgroße Kreise mit dem Radius r berühren sich untereinander sowie eine gemeinsame Tangente g. Ein Quadrat mit der Seitenlänge t liegt mit einer Seite auf g und je eine Ecke liegt auf je einem der beiden Kreise (siehe Abbildung). Bestimme t in Abhängigkeit von r.

Comments

Auch hier nur eine Vermutung: r = 2,5t? :)

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Gute Vermutung. Nun der Beweis!

Answer 1

Forme die Gleichung r²=(r-0,5a)²+(r-a)² um, bis du einen Zusammenhang zwischen a und r hast.

Nachdem im meinen Rechenfehler beseitigt habe, komme ich auch auf r=2,5 a und die Nebenlösung r=0,5 a. (Letztere ergibt sich, wenn die oberen Quadratecken die beiden Kreise von innen berühren).

Answer 2

M sei der Mittelpunkt des linken Kreises.

P sei der Berührpunkt dieses Kreises mit g.

Q sei der Berührpunkt dieses Kreises mit dem Quadrat.

Für den Winkel α := ∠PMQ gilt

        sin(α) = (r - t/2)/r

        cos(α) = (r - t)/r

Mittels trigonometrischen Pythagoras bekommt man

        ((r - t/2)/r)² + ((r - t)/r)² = 1

Lösungen dieser Gleichung sind

        t = 2/5·r

        t = 2r