Diagonalmatrizen - Vertauschungen

Question

Liebe Mitglieder,

ich muss folgende Aufgabe bearbeiten: 
Sei Z ⊆ GL₂(ℂ) die Menge der Matrizen A, welche mit allen anderen Matrizen vertauschen, d.h. für die A * B = B * A für alle B ∈ GL₂(ℂ) gilt. Zeigen Sie: Z besteht genau aus den Diagonalmatrizen \( \begin{pmatrix} w & 0 \\ 0 & w \end{pmatrix} \) mit w ∈ ℂ*. 

Kann mir jemand sagen, wie ich das mache? Man hat noch den Hinweis B = \( \begin{pmatrix} 1& 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) und B = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) zu betrachten. 

Vielen Dank!

Answer 1

Nimm einfach eine 2x2  Matrix ganz allgemein   A =

a   b
c   d

und berechne für die vorgeschlagenen Beispiele für B

jeweils  A*B und B*A  .  Die müssen dann ja gleiche

Ergebnisse haben. Dann kommst du auf b=c=0 und a=d ,

also ist A eine Matrix der zu beweisenden Art

a     0
0    a