Grenzwert mit Induktion

Question

Aufgabe:

Grenzwert: Sei a=\( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n der Grenzwert

         \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n+1 = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) √(a_n+6) ⇐⇒ \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n+1 = √(\( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n + 6) 

                      ⇐⇒ a = √( a + 6) ⇐⇒ a²  - a - 6 = 0

                   ⇐⇒ a = 3 oder a = -2  ⇒   \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n = 3 

Problem/Ansatz:

Es handelt sich hierbei um eine Aufgabe aus dem Internet

die ich zur übung gewählt habe jedoch kann ich einige Schritte nicht nachvollziehen

http://www.mathematik.uni-kassel.de/mathfb16/SS14/Analysis/Hoersaalanleitung/Hoersaal03.pdf

Ich habe die schritte rot makiert die ich nicht nachvollziehen konnte.

Ich bin mir bewusst, das es hier mit einer Wurzelgleichung gelöst wurde um daraus eine quadratische Funktion zu machen

ich habe die Nullstellen auch schon mit der Pq- Formel berechnet.

Meine Frage ist warum soll man daraus eine quadratische Funktion bilden welcher Gedanke verbirgt sich dahinter?

Und normalerweise muss man doch um aus der Wurzelfunktion eine quadratische zu bilden sie mit etwas gleichsetzen, so kenn ich das halt nur.

Answer 1

Hallo

 a=√(a+6) kann man eigentlich wenigstens a=3 als Lösung sehen, wem das allerdings nicht direkt auffällt muss quadrieren , dabei können dann auch ungültige Werte (wie hier -2) erscheinen, deshalb muss man die Werte immer noch in die ursprüngliche Gleichung einsetzen

du hast doch die Wurzelfnktion √(a+6) mit etwas gleichgesetzt, nämlich mit a

Der Gedanke ist einfach ohne quadrieren oder richtig raten, kann man die Lösung von  a=√(a+6) nicht bestimmen

Gruß lul

Comments

das ist die musterlösung die hab ich nicht selber gemacht.

Meine Frage ist wie ich von √(a_n+6) auf a²  - a - 6 = 0  komme

soll ich mir das so vorstellen √(a_n+6) = √(a+6) und was dann?

Mein Ziel ist es nicht einach die Aufgabe zu lösen, aber die einzelnen Schritte zu verstehen die hier angewendet werden ^^

zum beispiel würde ich √(3+6) für a_n = 3 einsetzen dann würde auch 3 rauskommen, aber mit welcher anderen Funktion überprüfe ich nun?

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Hallo

da steht doch vorher der GW von an und von an+1 ist derselbe.  wir nennen den GW von an a dann ist der GW von an+1 auch a aber er ist auch √(a+6) also müssen für den GW √(a+6) und a gleich sein  daher die Gleichung √(a+6)=a und die kann man durch raten oder mit quadrieren lösen.

vielleicht leuchtet dir mehr ein, für wachsende an nähert sich an+1 und an immer mehr,  d,h, √(an+6)-an werden beliebig klein also im Limes ist die Differenz 0   und aus an wird a   also √(a+6)-a=0

beantwortet das deine Frage?

Gruß lul

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Ja das passt hab's soweit verstanden Dankeschön!