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Für q ≠ 1 sei die Folge (Xn) n∈N rekursiv definiert durch

Xn={1 fu¨n=1,Xn1+qn1 fu¨n2. X_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { für } n=1, \\ X_{n-1}+q^{n-1} & \text { für } n \geq 2 .\end{array}\right.

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass

Xn=1qn1q X_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q} gilt.

Für welche q q ist die Folge konvergent? Was ist in diesem Fall der Grenzwert?

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X(n) = (1 - qn) / (1 - q)


Induktionsanfang n = 1, n = 2

X(1) = (1 - q1) / (1 - q) = 1 → Stimmt

X(2) = (1 - q2) / (1 - q) = (1 + q)(1 - q) / (1 - q) = 1 + q = X(1) + q2 - 1 → stimmt


Induktionsschritt n → n + 1

X(n + 1) = (1 - qn + 1) / (1 - q) = (1 - qn + 1) / (1 - q) = (qn - 1)/(q - 1) + qn = X(n) + qn → wzbw.


qn muss gegen 0 gehen und damit muss 0 ≤ q < 1 sein.

lim n->∞ (1 - qn) / (1 - q) = 1 / (1 - q)

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