Für q ≠ 1 sei die Folge (Xn) n∈N rekursiv definiert durch
Xn={1 fu¨r n=1,Xn−1+qn−1 fu¨r n≥2. X_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { für } n=1, \\ X_{n-1}+q^{n-1} & \text { für } n \geq 2 .\end{array}\right. Xn={1Xn−1+qn−1 fu¨r n=1, fu¨r n≥2.
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass
Xn=1−qn1−q X_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q} Xn=1−q1−qn gilt.
Für welche q q q ist die Folge konvergent? Was ist in diesem Fall der Grenzwert?
X(n) = (1 - qn) / (1 - q) Induktionsanfang n = 1, n = 2 X(1) = (1 - q1) / (1 - q) = 1 → Stimmt X(2) = (1 - q2) / (1 - q) = (1 + q)(1 - q) / (1 - q) = 1 + q = X(1) + q2 - 1 → stimmt Induktionsschritt n → n + 1 X(n + 1) = (1 - qn + 1) / (1 - q) = (1 - qn + 1) / (1 - q) = (qn - 1)/(q - 1) + qn = X(n) + qn → wzbw.
qn muss gegen 0 gehen und damit muss 0 ≤ q < 1 sein.
lim n->∞ (1 - qn) / (1 - q) = 1 / (1 - q)
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