Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass X_n = (1-q^n)/(1-q)

Question

Für q ≠ 1 sei die Folge (X_n) n∈N rekursiv definiert durch

\( X_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { für } n=1, \\ X_{n-1}+q^{n-1} & \text { für } n \geq 2 .\end{array}\right. \)

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass

\( X_{n}=\frac{1-q^{n}}{1-q} \) gilt.

Für welche \( q \) ist die Folge konvergent? Was ist in diesem Fall der Grenzwert?

Answer 1

X(n) = (1 - q^n) / (1 - q)


Induktionsanfang n = 1, n = 2

X(1) = (1 - q^1) / (1 - q) = 1 → Stimmt

X(2) = (1 - q^2) / (1 - q) = (1 + q)(1 - q) / (1 - q) = 1 + q = X(1) + q^{2 - 1} → stimmt


Induktionsschritt n → n + 1

X(n + 1) = (1 - q^{n + 1}) / (1 - q) = (1 - q^{n + 1}) / (1 - q) = (q^n - 1)/(q - 1) + q^n = X(n) + q^n → wzbw.

q^n muss gegen 0 gehen und damit muss 0 ≤ q < 1 sein.

lim n->∞ (1 - q^n) / (1 - q) = 1 / (1 - q)