Aufgabe:
Finden Sie einen geschlossenen Ausdruck für die durch
\( a_{1}:=2, \quad a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+a_{n}} \)
rekursiv definierte Folge und beweisen Sie diesen mit vollständiger Induktion.
Formeln:
a1 := 2,
an+1 =(an)/(1+an)
an = 2/(2n - 1)
Rekursiv: \(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}\)Vermutung: \(a_n=\dfrac{2}{2n-1}\)Vollständige Induktion:- Induktionsanfang: n=1 ... (kriegst du hin)- Induktionsschritt von n auf n+1Es gelte: \(a_n=\dfrac{2}{2n-1}\) (*)Zu zeigen: \(a_{n+1}=\dfrac{2}{2(n+1)-1}\)(*) \(\Rightarrow 1+a_n=1+\dfrac{2}{2n-1}=\dfrac{2n-1}{2n-1}+\dfrac{2}{2n-1}=\dfrac{2n+1}{2n-1}\)\(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}=\ldots\)
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