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Aufgabe:

Finden Sie einen geschlossenen Ausdruck für die durch

\( a_{1}:=2, \quad a_{n+1}=\frac{a_{n}}{1+a_{n}} \)

rekursiv definierte Folge und beweisen Sie diesen mit vollständiger Induktion.


Formeln:

a1 := 2,

an+1 =(an)/(1+an)

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an = 2/(2n - 1)

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\(n\)
1
2
3
4
5
\({a_n}\)
2
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{2}{5}\)
\(\frac{2}{7}\)
\(\frac{2}{9}\)

Rekursiv: \(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}\)

Vermutung: \(a_n=\dfrac{2}{2n-1}\)

Vollständige Induktion:

-  Induktionsanfang: n=1 ... (kriegst du hin)
-  Induktionsschritt von n auf n+1

Es gelte: \(a_n=\dfrac{2}{2n-1}\)  (*)

Zu zeigen: \(a_{n+1}=\dfrac{2}{2(n+1)-1}\)

(*) \(\Rightarrow 1+a_n=1+\dfrac{2}{2n-1}=\dfrac{2n-1}{2n-1}+\dfrac{2}{2n-1}=\dfrac{2n+1}{2n-1}\)

\(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n}=\ldots\)

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