Rekursion für geschlossenen Ausdruck beweisen

Question

Wie kann ich den geschlossenen Ausdruck für die folgende rekursion beweisen?

Ich weiß das dies anhand Ders Induktionsbeweises gemacht werden soll aber schaffe es leider nicht..

Wäre über jede Hilfe dankbar

Comments

Hallo. Woran scheiterst es denn am Induktionsbeweis?

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Also ich verstehe ehrlich gesagt nichts bei dieser Aufgabe.

Ich weiß das n=2

Und das war’s

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Dann gucke dir mal zunächst an, wie das Prinzip der vollständigen Induktion überhaupt funktioniert, dann ein paar Beispiele dazu und dann setzt du dich mit deiner Aufgabe auseinander. Sonst wird das nichts mit dem Beweisen...

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Die vollständige induktion kann ich, die Aufgaben habe ich bisher alle erfolgreich lösen können.

Mein Problem ist das ich einfach bei dieser Aufgabe hängen geblieben bin, da sie anders ist als die Aufgaben die ich bisher bearbeitet habe

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Ok. Aber wenn das jetzt deine erste Aufgabe in dieser Form ist, ist das vollkommen normal, wenn man anfangs nicht weiter weiß. Vermutlich hast zunächst nur induktive Beweise gemacht, bei der du nur eine Gleichheit gegeben hattest und nichts weiter?

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Genau.

Und die liefen auch alle super, hier komme ich allerdings nicht weiter

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Setz einfach mal ein $$ a_{n+1} = 2-\frac{1}{a_n} = 2-\frac{n}{n+1} = \frac{2(n+1)-n}{n+1} = \frac{2n+2-n}{n+1} = \frac{n+2}{n+1} =  \frac{(n+1)+1}{n+1} $$

Nun zeigst du per Induktion: $$ Induktionsanfang\quad (n=1):\quad a_1 = \frac{1+1}{1} = 2 \quad \surd $$ Induktionsschritt: Wie oben nur umgekehrt:D. Das kriegst du hin! :)

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Genau. Es ist empfiehlt sich, mit der gegebenen Rekursion im Induktionsanfang und im Induktionsschritt zu arbeiten.

Answer 1

a(1) = (1 + 1)/1 = 2

a(n+1) = 2 - 1/a(n)
((n + 1) + 1)/(n + 1) = 2 - 1/((n + 1)/n) → wahr

Comments

Hallo Mathecoach:)

a1=2 und an=(n+1)/n müsste dann a1=(2+1)/2 sein?

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Wenn

an=(n+1)/n

dann ist

a1=(1+1)/1
a2=(2+1)/2
a3=(3+1)/3
...

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Ahaa:D deswegen auch A1=2

Danke sehr