der minimale Abstand von Flugzeugen im Raum

Question

Aufgabe:

In einem räumlichen Koordinatensystem bewegen sich zwei Flugzeuge auf geradlinigen Flugbahnen. Eine Längeneinheit beträgt 1 km in der Wirklichkeit. Das Flugzeug A befindet sich zum Beobachtungsbeginn im Punkt P(16|2|0) und drei Minuten später im Punkt Q(-15|15|5).

Ein zweites Flugzeug B befindet sich zum beobachtungsbeginn im Punkt R(-1|-1|3) und zwei Minuten später im Punkt S(-9|6|4).

a) Untersuchen Sie, wie nah sich die Flugbahnen höchstens kommen.

b) Nehmen sie an, dass die Flugzeuge ihre Geschwindigkeit nicht ändern. Stellen Sie eine Funktion für den Abstand ein Abhängigkeit von der Zeit auf und bestimmen Sie den minimalen abstand der Flugzeuge voneinander.

c) Ermitteln Sie, wie schnell die Flugzeuge sich auf ihren Bahnen bewegen müssten, damit der kleinste Abstand zwischen den Flugzeugen dem kürzesten Abstand der Flugbahnen entspricht.

Aufgabe a) könnte ich schon lösen und hab die Entfernung 5,565 km raus. Für b) und c) kann ich aber auf keinen Ansatz kommen. Würde Micha her freuen wenn mir jemand dabei helfen könnte.

:)

Answer 1

a) Untersuchen Sie, wie nah sich die Flugbahnen höchstens kommen.

Hier braucht man "nur" den kleinsten Abstand der Gerade PQ mit der Gleichung [x|y|z]=[16|2|0]+k[-31|13|5) und der Gerade RS mit der Gleichung [x|y|z]=[-1|-1|3]+m[-8|7|1] (beide Geradengleichngen in Spaltenform umschreiben). Dann den Betrag von d_m(k)=[-1|-1|3]+m[-8|7|1] -[-1|-1|3]+m[-8|7|1] minimieren. Diese Abstandsfunktion kann man zunächst als Funktionenschaar von k mit dem Parameter m auffassen. Dann die Ortslinie aller Tiefpunkte bestimmen und zum Schluss denTiefpunkt dieser Ortslinie bestimmen. Das ist allein Rechnung für einen halbenTag.