Vektorrechnung mit Flugzeugen und deren Bahnen im Simulator

Question

meine Aufgabe lautet:

in einem Flugzeugsimulator wird der Flug zweier Flugzeuge simuliert. Das erste Flugzeug fliegt vom Punkt

A (365 / 2 / 11000) innerhalb von einer Sekunde nach B (196 /-5 / 10820), das zweite Flugzeug fliegt vom Punkt

C (305 / 0,5 / 14300)  nach D (222,2 / -2,95 / 14100).

Frage (a): wie weit sind die Flugzeuge nach 20 Sekunden voneinander entfernt ?

Frage (b): wo kreuzen sich die beiden Flugbahnen ?

Frage (c): würden die Flugzeuge in dieser Simulation miteinander kollidieren ?

Frage (d): wenn man ab einer Höhe von 9km die Flugzeuge mit bloßem Auge gut erkennt, welches Flugzeug würde man zuerst am Himmel sehen ?

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Ich bitte bei der Lösungsfindung um eine kurze Aufstellung der Antworten und die Lösungen dazu.

Danke und Gruß

Marek

Answer 1

Es steht zwar nicht da, aber nehmen wir mal an, dass die Flugzeuge

geradlinig fliegen. 

Dann ist das erste auf der Geraden mit der Gleichung

(ich schreib mal die Vektoren als Zeilen statt als Spalten, wie es

richtig sein muss.

x = (365 / 2 / 11000)  + r * (   (196 /-5 / 10820) - (365 / 2 / 11000) )

  = (365 / 2 / 11000)  + r *   (- 169 /-7 / -180)

also ist es nach 20 Sek. beim Punkt  C =

(365 / 2 / 11000)  + 20 *   (- 169 /-7 / -180) =  (- 3015 / - 138 / 7400) .

Das andere entsprechend bei

D = ( -1351  ,  -68.5  , 10300 )

Entfernung also wurzel ( ( -1351-3015)^2 + ( -68.5 - - 138 ) ^2 + ( 10300 - 7400) ^2  )

= wurzel ( 1183726,25) = 3344

b) Geradengleichungen gleichsetzen:

und die Parameter ausrechnen.

c) Das tun sie nur, wenn die Parameterwerte gleich sind, denn dann sind

sie zur gleichen Zeit am gleichen Punkt.

d) Geradengleichungen gleicsetzen mit ( x,y,9000)

Dann kannst du aus der 3. Zeile der Koordinaten die

Parameterwerte ausrechnen und das sind die Zeiten, wann

man die Flugzeuge sieht.

Answer 2

a)

g1: X = [365, 2, 11000] + r·([196, -5, 10820] - [365, 2, 11000]) = [365, 2, 11000] + r·[-169, -7, -180]

g2: X = [305, 0.5, 14300] + r·([222.2, -2.95, 14100] - [305, 0.5, 14300]) = [305, 0.5, 14300] + r·[-82.8, -3.45, -200]

[365, 2, 11000] + 20·[-169, -7, -180] = [-3015, -138, 7400]

[305, 0.5, 14300] + 20·[-82.8, -3.45, -200] = [-1351, -68.5, 10300]

|[-3015, -138, 7400] - [-1351, -68.5, 10300]| = 3344 m

b)

[365, 2, 11000] + r·[-169, -7, -180] = [305, 0.5, 14300] + s·[-82.8, -3.45, -200]

Für die Lösung der ersten und zweiten Gleichung ergibt sich: r = 24 ∧ s = 1110/23

[365, 2, 11000] + 24·[-169, -7, -180] = [-3691, -166, 6680]

[305, 0.5, 14300] + 1110/23·[-82.8, -3.45, -200] = [-3691, -166, 4647.826086]

Die Flugbahnen schneiden sich nicht

c)

([365, 2, 11000] + r·[-169, -7, -180]) - ([305, 0.5, 14300] + r·[-82.8, -3.45, -200]) = [60 - 86.2·r, 1.5 - 3.55·r, 20·r - 3300]

d² = [60 - 86.2·r, 1.5 - 3.55·r, 20·r - 3300]² = 7843.0425·r^2 - 142354.65·r + 10893602.25

(d²)' = 15686.085·r - 142354.65 = 0 --> r = 9.075218577 --> d² = 10247652.46 --> d = 3201 m

Die Flugzeuge haben einen kleinsten Abstand von 3.2 km.

d)

Aus Aufgabe a) geht hervor, dass man das 1. Flugzeug zuerst sehen kann.

Comments

Vielen Dank dafür aber in meiner Liste wo nur die Ergebnisse stehen, für (a) steht 3089,81 m.

Wie lässt sich das bestätigen, was ist wirklich richtig? Verzeihung aber ich bin durch diese Liste etwas verunsichert.

Gruß

Marek

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Noch eine Frage hätte ich wie folgt: wie weit sind die Flugzeuge voneinander entfernt zu Beginn?

Gruß

Marek

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Da mathef das gleiche Ergebnis hat wie ich, denke ich mal das die Rechnung bei a) richtig ist. Kontrolliere bitte mal deine vier Punkte ob alle richtig übernommen worden sind.