Lineare Abbildung in Matrix dastellen, konstanter Ergebnisvektor?

Question

Folgendes:

gegeben ist ein zweidimensionaler Untervektorraum des Funktionsraums aller reellen Funktionen der durch Cosinus und Sinus erzeugt wird. Es sind mehrere lineare Abbildungen gegeben und gesucht sind die Matrizen dazu.

Die erste Teilaufgabe bestand aus den lineare Abbildungen

V → V, f(x) ↦ f'(x) und

V → V, f(x) ↦ f(x + π)

Das war ja recht easy, jetzt sitze ich allerdings seit 4 Stunden an der zweiten und google mir einen Wolf und finde keinen Ansatz.

V → |R , f ↦ f(π) und

V → |R , f ↦ \( \int\limits_{0}^{π/2} \)f(x)dx

Ich finde dafür einfach nichts. Es scheint für mich auch ein konstanter Wert dabei rauszukommen, da ja sin(π) und cos(π) eindeutig bestimmbar sind. Und das ist doch nicht möglich mit einer Matrix?

Es gibt noch eine dritte Teilaufgabe, diese scheint lösbar mit den Lösungen aus der zweiten. 
Ich bin für jeden Tipp sehr dankbar. Eine vollständige Lösung ist nicht gefragt, da mir da der Lerneffekt zu sehr verloren geht :D

Vielen dank im voraus für eure Hilfe!   

Answer 1

gesucht sind die Matrizen dazu.

Zur Erinnerung: die Spalten der Matrix sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren.

V → |R

Die Abbildungsmatrix ist eine 1×2-Matrix, weil ℝ eindimensional und V zweidimensional ist.

V → |R , f ↦ f(π)

a·sin(π) + b·cos(π) = a.

Das bekommst du durch sin ↦ 1 und cos ↦ 0 hin.

V → |R , f ↦ ∫_0..π/2f(x)dx

∫_0..π/2 (a·sin(x) + b·cos(x)) dx

= [b·sin(x) - a·cos(x)]_0..π/2

= a + b

Das bekommst du durch sin ↦ 1 und cos ↦ 1 hin.

Und das ist doch nicht möglich mit einer Matrix?

Doch, auch Matrizen können konstante Werte sein. Nur sind sie halt in den seltensten Fällen Skalare.