Lineare Unabhängigkeit, Sinus und Cosinus

Question

kann mir jemand bei den folgenden Aufgaben helfen? Ich muss zeigen, dass folgende Abbildungen linear unanhängig sind:

1. sin(x), cos(x)

2. sin(x), sin²(x)

Einen Ansatz habe ich, aber ich weiß nicht wie ich, ob er richtig ist und wie ich weitermachen muss. Zu 1: a×sin(x)+b×cos(x)=0

a und b müssten ja 0 sein, somit wäre die Abilldung linear unabhängig oder kann ich diesen Ansatz hier nicht benutzen?

Comments

Schau mal hier:

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Das habe ich mir schon angeguckt, aber um ehrlich zu sein, habe ich das nicht genau verstanden.

Answer 1

Genau, du musst zeigen, dass a und b gleich Null sind. Dafür kannst du einfach einmal ableiten und hast dann eine Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, welches du lösen kannst.

\( \begin{array}{l} a \sin (x)+b \cos (x)=0 \\ a \cos (x)-b \sin (x)=0 \end{array} \)
In Matrix Schreibweise also
\( \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \sin (x) & \cos (x) \\ \cos (x) & -\sin (x) \end{array}\right]}_{=: \mathbf{A}} \cdot\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right] \)
Wenn du nun die Determinante von A betrachtest, so gilt
\( \operatorname{det}(\mathbf{A})=-\sin (x)^{2}-\cos (x)^{2}=-\left(\sin (x)^{2}+\cos (x)^{2}\right)=-1 \neq 0 \)
und somit ist \( \mathcal{N}(\mathbf{A})=\{\mathbf{0}\} \), also \( (a, b)=(0,0) \) ist die einzige Lösung.

Comments

Okay, ich verstehe den Rechenschritt.  Meine Matrix für die zweite Teilaufgabe wäre:

sin(x)	sin2(x)
sin2(x)	-sin(x)

Oder?

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Nicht wirklich. Weisst du wie man eine Funktion ableitet? Du leitest also sin(x) und sin^2(x) ab (du leitest also beide Seiten ab, 0 abgeleitet bleibt 0 und somit kriegst du also eine weitere Gleichung). Du erhältst

\( \left[\begin{array}{cc}\sin (x) & \sin (x)^{2} \\ \cos (x) & 2 \sin (x) \cos (x)\end{array}\right] \)

Aber die brauchst du hier gar nicht, da man direkt sieht, dass die beiden Funktionen nicht linear unabhängig sind.

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Wie man generell Funktionen ableiten ja. Tut mir leid, dann hatte ich den Satz nicht richtig verstanden, aber ich verstehe nicht wieso die Ableitung von sin(x) cos(x) ist. Das ist aber dann eine festgeschriebene Regel, die man dann sozusagen auswendig lernen muss oder?

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wenn du die Definition der Ableitung auf sin(x) anwendest und die Winkelsummenidentität anwendest, wirst du sehen, dass die Ableitung von sin(x) die Funktion cos(x) ist. Wenn die Antwort die weitergeholfen hat, gerne akzeptieren.