Genau, du musst zeigen, dass a und b gleich Null sind. Dafür kannst du einfach einmal ableiten und hast dann eine Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, welches du lösen kannst.
\( \begin{array}{l} a \sin (x)+b \cos (x)=0 \\ a \cos (x)-b \sin (x)=0 \end{array} \)
In Matrix Schreibweise also
\( \underbrace{\left[\begin{array}{cc} \sin (x) & \cos (x) \\ \cos (x) & -\sin (x) \end{array}\right]}_{=: \mathbf{A}} \cdot\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right] \)
Wenn du nun die Determinante von A betrachtest, so gilt
\( \operatorname{det}(\mathbf{A})=-\sin (x)^{2}-\cos (x)^{2}=-\left(\sin (x)^{2}+\cos (x)^{2}\right)=-1 \neq 0 \)
und somit ist \( \mathcal{N}(\mathbf{A})=\{\mathbf{0}\} \), also \( (a, b)=(0,0) \) ist die einzige Lösung.