Zeigen Sie dass: A ⊂ ℕ ⊂ M.

Question

Seien M := {z ∈ ℤ | z ≥ −5} und A := ℕ \ {0, 1, 2}.

Zeigen Sie:
(a) A ⊂ ℕ ⊂ M.

"⊂" (echte Teilmenge)

Answer 1

Dazu musst du zeigen:

1. Für alle x∈A gilt x∈ℕ.

Sei also  x∈A =  ℕ \ {0, 1, 2}

also  x∈ℕ  und  x∉{0, 1, 2}

also insbesondere x∈ℕ.

2. (wegen "echter" Teilmenge):

Es gibt ein x∈ℕ   mit  x∉A .

Das wäre z.B. für x=2 erfüllt.

3. Für alle x∈ℕ gilt  x∈M.

Sei also  x∈ℕ  dann folgt

x∈ ℤ , weil  ℕ⊂ ℤ  und x≥0.

also auch x ≥ −5 und damit   x∈M.

4.  (wegen "echter" Teilmenge):

Es gibt ein x∈M    mit  x∉ℕ.

Das ist z.B. für x=-2 erfüllt.