Bestimmen aller qeQ für welche eine Reihe konvergiert

Question

Aufgabe:

Wir haben folgende Reihe:

sum of (sqrt(n+1) - sqrt(n)) / n^q

und sollen alle q Elemente aus den rationalen Zahlen bestimmen, für welche die Reihe konvergiert.

Wolfram Alpha sagt: Summe konvergent <=> 2n * q > 3. Aber ein ordentlicher Rechenweg wäre schöner, zumal ich WA nicht zwingend traue.

Problem/Ansatz:

ich weiß nicht so recht wie ich das machen soll. Wir haben ein ähnliches Beispiel im Skript, da wurde es mit dem Majorantenkriterium gelöst, allerdings war dort relativ schnell zu erkennen bei welchen Intervallen 1/n^q kleiner gleich oder größer gleich 1/n^2 bzw. 1/n ist. Hier macht mir der Zähler dann doch zu schaffen.

Ich weiß, kann eigentlich nicht so schwer sein, aber hab dann nun doch ein wenig Zeitdruck bekommen und hänge ein wenig, da ich nicht ganz weiß, wie ich die Intervalle wähle.

Answer 1

(sqrt(n+1) - sqrt(n)) / n^q   erweitern mit  (sqrt(n+1) +sqrt(n)) gibt

( n+1  - n) /  ( n^q *  (sqrt(n+1) +sqrt(n))  )

= 1  /  ( n^q *  (sqrt(n+1) +sqrt(n))  )

Vielleicht hilft das schon weiter .

Comments

Danke für den ersten Tipp. Das hatte ich tatsächlich schon gemacht und alles in den Nenner gebracht. So weiß ich wenigstens, dass ich bei dem eingeschlagenen Weg richtig lag.

Jetzt muss ich wohl noch zeigen, ab wann n^q *  (sqrt(n+1) +sqrt(n)) <= 1/n² ist, liege ich richtig?

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Danke für den ersten Tipp. Das hatte ich tatsächlich schon gemacht und alles in den Nenner gebracht. So weiß ich wenigstens, dass ich bei dem eingeschlagenen Weg richtig lag.

Jetzt muss ich wohl noch zeigen, ab wann n^q *  (sqrt(n+1) +sqrt(n)) <= 1/n² ist, liege ich richtig?

Wenn ich diese Ungleichung aufstelle, dann ende ich aber bei:

n^q <= sqrt(n+1) / (n*sqrt(n)

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So könnte es gehen, aber was ist denn mit der

Summe über 1/n^q wenn q zwischen 1 und 2 liegt.

Da gibt es doch bestimmt auch was drüber,hab

ich aber grad nicht parat. Kann sein, dass das für

jedes q>1 konvergiert.

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Wenn q zwischen 1 und 2 liegt, dann konvergiert die Summe 1/n^q laut Skript nach dem Majorantenkriterium. Allerdings steht hier kein Beweis. Des Weiteren ist die Summe über 1/n^q konvergent, wenn q > 1. Theoretisch kann ich dieses Wissen aus dem Skript auch einfach als Argument benutzen.

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Die Summe konvergiert für q>1/2.

Denn dann steht da irgendwas proportional zur verallgemeinerten harmonischen Reihe 1/n^x mit x>1.

Dieser Fall ist konvergent.

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Geometrische Reihe? Wie gesagt, Wolfram Alpha spuckt auhc q>1/2 aus bzw. 2q>3, aber ich bekomme keinen sauberen Beweis hin.

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Nix mit geometrische Reihe. Verallgemeinerte harmonische Reihe.

Das entspricht diesem Fakt:

Des Weiteren ist die Summe über 1/n^q konvergent, wenn q > 1. Theoretisch kann ich dieses Wissen aus dem Skript auch einfach als Argument benutzen.

Ich habe x=q geschrieben, da q in der Aufgabe eine andere Bedeutung hat.

Überlege nun:

Für welche q ist

1/(n^q*n^(1/2)) (da in dem betrachteten Term nur solche Potenzen auftreten) proportional zu 1/n^x mit x >1.

Das führt zu der Ungleichung

q+1/2>1 (aufgrund der Potenzgesetze)

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Ja, ich seh auch grad, dass ich sowieso bezüglich WA ebenso murks geschrieben habe. Ich probiere es mal mit deiner Hilfe.

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n^q*sqrt(n) = n^(q+1/2).

Da Summe 1/n^q konvergent wenn q > 1, ist dann 1/n^q*sqrt(n) konvergent, wenn q+1/2 > 1 und das ist äquivalent zu q > 1/2.

Aber was ist mit dem anderen Summanden im Nenner? Ich habe schließlich 1/n^q*(sqrt(n+1) + sqrt(n)).

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Das da ein zweiter Summand mit einer Wurzel steht ist nicht so wesentlich, da er in der selben Ordnung wächst wie der andere Summand. Du kannst also zuerst abschätzen

1/n^q*(sqrt(n+1) + sqrt(n))<=

1/n^q*(2*sqrt(n) + sqrt(n))

=1/(n^q *3*sqrt(n))

=1/(3*n^(q+1/2))