Aufgabe:
Sei (E,G) eine affine Ebene. Zeigen Sie, dass Parallelität von Geraden eine Äquivalenzrelation ist.
Problem/Ansatz:
Ich weiß, dass jede Gerade zu sich selbst Parallel ist. Zudem kenne ich auch von der Äquivalenzrelation die zu Beweisenden Eigenschaften ( weiß gerade nicht wie ich das nennen soll) Reflexivität, Symmetrie und Transitivität.
Zu Beweisen:
Reflexivität: Eine Gerade $$g\in G$$ ist parallel zu sich selber also $$ g\parallel g = g\sim g$$
Symmetrie: Wenn eine Gerade g zu einer Geraden h parallel ist dann ist h auch parallel zu g. $$g\sim h \Rightarrow g\sim g~ ( g\parallel h \Rightarrow h \parallel g)$$
Transitivität: Wenn eine Gerade g zu einer Geraden h parallel ist und die Gerade h zu einer Geraden k parallel, dann ist g auch parallel zu k. $$ g\sim h , h\sim k \Rightarrow g\sim k~ (g\parallel h , h\parallel k \Rightarrow g\parallel k)$$
Das sind die 3 Eigenschaften die ich Beweisen muss. Ich würde das mit einem Widerspruchs Beweis (es ist keine Äquivalenzrelation) versuchen, heißt wenn jede Eigenschaft stimmt also eine Äquivalenzrelation beschreibt,dann habe ich einen Widerspruch zu der zu beweisenden aussage das es keine Äquivalenzrelation ist.
Beweis durch Widerspruch : Parallelität von Geraden ist keine Äquivalenzrelation. ( Eine der 3 Eigenschaften darf nicht stimmen)
Reflexivität: Nehmen wir eine Gerade $$g\in G$$. Durch die Definition der Parallelität von Geraden, ist die Gerade parallel zu sich selbst, also $$g\sim g = g\parallel g$$. Somit stimmt die Reflexivität für einer Äquivalenzrelation für die Parallelität von Geraden.
Symmertrie: Seien zwei geraden $$g,h\in G$$. Wenn $$g\sim h$$ dann ist $$h \sim g$$, da entweder $$g = h$$ oder $$g \neq h$$ aber dann ist durch die Definition einer affinen Ebene h die einzige Gerade die Parallel zu g liegt und einen Punkt $$p_1\in E$$ besitzt der nicht auf g liegt. Somit würde auch die Symmetrie für eine Äquivalenzrelation stimmen.
Transitivität: Seien drei Geraden $$g,h,k \in G$$. Sei $$g\sim h~ und~ g\sim k$$. Wenn jetzt $$ g\nparallel h$$ dann schneiden sich g und h in einem Punkt $$p_2 \in E$$. Da aber beide Geraden g und k die eindeutigen (Eindeutigkeit hatten wir bewiesen in der Vorlesung durch 2 Geraden h1, h2 die parallel zu einer Geraden g sind und h1=h2 ist) parallelen zu h sind die den Punkt $$p_2$$ enthalten. Deshalb gilt $$g\sim h \Rightarrow g\sim k$$, denn es gibt genau eine parallele Gerade zu h die $$p_2$$ enthält somit gilt auch g=k.
Damit hätte man gezeigt das alle Eigenschaften stimmen und somit ein Widerspruch zu der Aussage "Parallelität von Geraden ist keine Äquivalenzrelation". Das heißt Parallelität von Geraden ist eine Äquivalenzrelation.
Meine Frage hierzu wäre jetzt ob das ausreicht für einen Beweis und ob das auch alles so stimmt. Freue mich über jede Hilfe :D
