Schnittpunkte von Ebene mit den Koordinatenachsen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen . Untersuchen Sie, ob das Dreieck , das durch die Schnittpunkte festgelegt wird, gleichschenklig ist.

a) E: x= ( -8  5 6) + r × ( 8 5 -9) + s × (  1 0 -1)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen herausbekommen und prüfen, ob das durch die Schnittpunkte festgelegte Dreieck gleichschenklig ist oder nicht ?

Answer 1

Schnittpunkt mit der x-Achse: Die y- und die z-Koordinate dieses Punktes müssen Null sein.

Setze also

5+5r + 0s = 0

und

6 - 9r  - 1s=0.

Löse das Gleichungssystem und rechne die x-Koordinate durch einsetzen der erhaltenen Werte r und s in

-8 + 8r +1s

aus.

Bei den anderen beiden Achsenschnittpunkten sind ebenfalls je zwei Koordinaten Null.

Wenn die die drei Punkte hast, berechnest du ihre Abstände zueinander. Dann siehst du ja, ob eventuell zwei Abstände gleich sind.

Answer 2

a) E: x= [-8, 5, 6] + r·[8, 5, -9] + s·[1, 0, -1]

[-8, 5, 6] + r·[8, 5, -9] + s·[1, 0, -1] = [x, 0, 0] → x = -1 ∧ r = -1 ∧ s = 15 → [-1, 0, 0]
[-8, 5, 6] + r·[8, 5, -9] + s·[1, 0, -1] = [0, y, 0] → y = -5 ∧ r = -2 ∧ s = 24 → [0, -5, 0]
[-8, 5, 6] + r·[8, 5, -9] + s·[1, 0, -1] = [0, 0, z] → z = -1 ∧ r = -1 ∧ s = 16 → [0, 0, -1]

Das Dreieck ist gleichschenklig, weil zwei Spurpunkte genau den Abstand 1 zum Ursprung haben.

Einfacher kann man mit der Koordinatenform der Ebene rechnen. Ich weiß aber nicht ob die schon bekannt ist.

Comments

Wie sieht es dann aus??? mit der einfacher Koordinatenform der Ebene

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Wie sieht es dann aus??? mit der einfacher Koordinatenform der Ebene

Du berechnest das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, das gibt den Normalenvekor \(\vec n\) der Ebene$$\vec n = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}8\\ 5\\ -9\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}5\\ 1\\ 5\end{pmatrix}$$ und die Ebenengleichung ist dann $$\vec x^T \cdot \begin{pmatrix}5\\ 1\\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\\ 5\\ 6\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}5\\ 1\\ 5\end{pmatrix} = -5$$bzw.:$$5x + y + 5z = -5$$normiere das ganze, so dass rechts eine \(1\) steht$$\frac x{-1} + \frac y{-5} + \frac z{-1} = 1$$dann stehen in den Nennern der Brüche die Spurpunkte der drei Achsen. (s.a.: Achsenabschnittsform)

Das Dreieck ist gleichschenklig, da zwei Koordinaten identisch sind.