Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen .

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen . Untersuchen Sie, ob das Dreieck , das durch die Schnittpunkte festgelegt wird, gleichschenklig ist.

a) E: x= ( 3  0  0) + r × ( 3  4  1) + s × (  1  0  -1)


Problem/Ansatz:

Wie kann ich die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen herausbekommen und prüfen, ob das durch die Schnittpunkte festgelegte Dreieck gleichschenklig ist oder nicht ?

Answer 1

Setze die Ebenengleichung gleich (x, 0, 0) und löse das Gleichungssystem in x, r und s.

Setze die Ebenengleichung gleich (0, y, 0) und löse das Gleichungssystem in y, r und s.

Setze die Ebenengleichung gleich (0, 0, z) und löse das Gleichungssystem in z, r und s.

...und prüfen, ob das durch die Schnittpunkte festgelegte Dreieck gleichschenklig ist oder nicht ?

Rechne, ob zwei Distanzen zwischen den drei Punkten gleich sind.

Answer 2

Hier noch eine schöne Methode

Wandle die Parameterform in die Koordinatenform um und bringe dann die Koordinatenform in die Achsenabschnittsform.

$$E: \overrightarrow x = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3\\4\\1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \newline \newline \overrightarrow n = \begin{pmatrix} 3\\4\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\4\\-4 \end{pmatrix} = -4 \cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \newline \newline E: x - y + z = 3 \newline \newline E: \frac{x}{3} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{3} = 1$$

Skizze

Comments

Das schöne hier war, dass man den Normalenvektor nicht nur über das Kreuzprodukt berechnen konnte, sondern auch durch reines Ansehen leicht ermitteln konnte.