Basis zum Untervektorraum

Question

Aufgabe:

Geben Sie eine Basis des folgenden Untervektorraums U ⊆ R hoch 7 an! U ist definiert als
Lösungsmenge eines homogenen LGS:

 
Problem/Ansatz:

Wie findet man zu dieser Matrix die Basis?

Der Nullvektor daneben irritiert mich auch.

Wenn man den addiert verändert sich ja nichts und wenn man ihn multipliziert dann sind die Werte innerhalb der Matrix ja alle gelich 0....

Und was ist mit U:=L gemeint?

Answer 1

Mit dem L ist die Lösungsmenge gemeint also, die Menge aller x ∈ ℝ^7 ,welche Die Gleichung Ax = b erfüllen.(A ist die Matrix und b der Vektor (0,0,0,0) .

Mit x_i ist die i-te Koordinate von x gemeint.

x ∈ B ⇔ Ax = 0 ⇔ 1. x_1 + 2*x_2 -x_4 + 3*x_5 + 2* x_7 = 0

                            2. x_3 + 5x_4 - 3x_6 + 2x_7 = 0

                            3. x_6 = 0

                            4. x_7 = 0

Da x_6 = x_7 = 0 ist ist die 1 und 2 Gleichung äquvivalent zu:

1. x_1 + 2x_2 -x_4 + 3x_5 = 0

2. x_3 +5x_4 =0 ⇔ x_3 = -5x_4

Wenn wir x_1 = a, x_2 = b und x_4 = c setzen erhalten wir,dass:

a+2b-c +3x_5 =0                                                          

x_5=\( \frac{1}{3} \) *(c-a-2b)                         

und x_3 = -5c

Die Vektoren, die entstehen, wenn man einerseits

x_1 = 1 , x_2 = 0 und x_4 = 0

x_1 = 0 , x_2 = 1 und x_4 = 0

x_1 = 0 , x_2 = 0 und x_4 = 1

bilden eine Basis

Comments

A ist die Matrix und b der Vektor (0,0,0,0,0,0,0) .

Sollte b nicht der Vektor (0,0,0,0) sein?

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Danke erstmal für deine Antwort!

Aber eins habe ich leider noch nicht verstanden:

Die Vektoren, die entstehen, wenn man einerseits

x_1 = 1 , x_2 = 0 und x_4 = 0

x_1 = 0 , x_2 = 1 und x_4 = 0

x_1 = 0 , x_2 = 0 und x_4 = 1

bilden eine Basis

Wieso haben wir den davor die Werte ausgerechnet wenn wir dann am Ende einfach so die Basis bilden können?

Also ich meine wofür haben wir das davor denn gemacht, muss man da nicht irgendwie was einsetzten oder so oder wofür war das sonst?

Und allgemein hätten wir doch dann drei Vektoren mit jeweils drei Zeilen, fehlt da nicht noch eine vierte Zeile? Also die Matrix selbst hat ja auch vier Zeilen.