Lineare Abhängigkeit zwischen abstrakten Vektoren

Question

Aufgabe:

Es seien ein Körper K, ein K-Vektorraum V und v, w, x, y ∈ V gegeben. Zeigen oder Widerlegen Sie:

Genau dann ist (v + w + x + y, -v + 2w + 2x + y, -v + w + x + 3y, -v - x + y) linear abhängig in V, wenn (v, w, x, y) linear abhängig in V ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich prüfen muss, ob gilt:

(v + w + x + y, -v + 2w + 2x + y, -v + w + x + 3y, -v - x + y)  ist linear abhängig ⇒ (v, w, x, y) ist linear abhängig

sowie andersherum

(v, w, x, y) ist linear abhängig ⇒ (v + w + x + y, -v + 2w + 2x + y, -v + w + x + 3y, -v - x + y)  ist linear abhängig

Ich habe es nicht geschafft, die folgenden beiden Gleichungen durch Umformungen miteinander in Verbindung zu bringen.

λ1 • v + λ2 • w + λ3 • x + λ4 • y = 0

μ₁ • (v + w + x + y) + μ₂ •(-v + 2w + 2x + y) + μ₃ •(-v + w + x + 3y) + μ₄ •(-v - x + y) = 0

Meine Vermutung ist, dass es nicht gilt. Daher habe ich dann versucht, ein konkretes Gegenbeispiel, wo die 1. Gleichung linear unabhängig/abhängig ist und die andere eben nicht oder andersherum. Dies war nicht von Erfolg gekrönt. Jetzt bin ich mir unsicher, wie ich das Problem noch angehen könnte.

Vielen Dank für jede Hilfe.

Answer 1

μ1 • (v + w + x + y) + μ2 •(-v + 2w + 2x + y) + μ3 •(-v + w + x + 3y) + μ4 •(-v - x + y) = 0
<=>  (μ1 -  μ2 - μ3 - μ4) •v  + ( μ1 + 2μ2 + μ3 ) • w +(μ1 + 2μ2+ μ3 - μ4) • x +( μ1 + μ2 +3μ3+ μ4) • y

Du musst also dann nur zeigen

μ1 = μ2 = μ3 =μ4 = 0    (Das gibt ja die lin. Unah. von v,w,x,y )

<=> (μ1 -  μ2 - μ3 - μ4) = ( μ1 + 2μ2 + μ3 ) = (μ1 + 2μ2+ μ3 - μ4) = ( μ1 + μ2 +3μ3+ μ4) = 0

Die Richtung ==>   ist wohl klar.

Sei umgekehrt

(μ1 -  μ2 - μ3 - μ4) = ( μ1 + 2μ2 + μ3 ) = (μ1 + 2μ2+ μ3 - μ4) = ( μ1 + μ2 +3μ3+ μ4) = 0

Dann hast du ein lin. Gl.system mit 4 Gl'en und 4 Variablen. Musst nur zeigen:

Das hat als einzige Lösung μ1 = μ2 = μ3 =μ4 = 0.

Das bekommst du mit Gauss-Verfahren sicher hin.
 

Comments

Vielen Dank! Ich hab es jetzt hinbekommen.

Darauf, dass man lineare Abhängigkeit "genau dann, wenn" auch damit beweisen kann dass lineare Unabhängigkeit "genau dann, wenn" gilt, wäre ich nie gekommen. Und ich dachte auch, dass man für die beiden Seiten verschiedene Koeffizienten nehmen muss, daher hatte ich λ und μ gewählt.