Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Matrizen

Question

(a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Matrizen (a_ij ) ∈ R^3x3 mit der Eigenschaft,
dass die Summe uber alle Elemente jeder Zeile, jeder Spalte und jeder der beiden ¨
Diagonalen einen vorgegebenen Wert c ∈ R annimmt. Wie lautet insbesondere die Zahl
a₂₂?
(b) Ergänzen Sie die Matrix so, dass ein “Zauberquadrat” entsteht (gemeint ist eine Matrix
mit den Eigenschaften aus (a))

\( \begin{pmatrix} a & 16 & c \\ 24 & 30 & 36 \\ f&g&h \end{pmatrix} \)  

Könnte mir jemand beim lösen dieser Aufgabe bitte behilflich sein?

Answer 1

b)

    a + 24 + f = z

    16 + 30 + g = z

    c + 36 + h = z

    a + 16 + c = z

    24 + 30 + 36 = z

    f + g + h = z

    a + 30 + h = z

    f + 30 + c = z

Löse das Gleichungssystem.

a)

        \(\begin{aligned} a_{11} + a_{12} + a_{13} &= c\\ a_{21} + a_{22} + a_{23} &= c\\ a_{31} + a_{32} + a_{33} &= c\\ a_{11} + a_{21} + a_{31} &= c\\ a_{12} + a_{22} + a_{32} &= c\\ a_{13} + a_{23} + a_{33} &= c\\ a_{11} + a_{22} + a_{33} &= c\\ a_{13} + a_{22} + a_{31} &= c \end{aligned}\)

Löse das Gleichungssystem.

Comments

Kann es sein, dass du eine Gleichung bei a.) Vergessen hast? Weil wir haben ja 9 unbekannte Variablen und nur 8 Gleichungen. Oder Bin ich einfach zu ,,doof" zum lösen?

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Die Anzahl der Gleichungen richtet sich nicht nach der Anzahl der Unbekannten, sondern nach der Art des Problems. Das Problem gibt nun mal nur acht Gleichungen her:

        drei für die Spalten,

        drei für die Zeilen und

        zwei für die Diagonalen.

Beispiel: Welche lineare Funktion verläuft durch die Punkte (1 | 2), (3 | 4) und (6|8)? Es reicht dazu nicht, das Gleichungssystem

        2 = m·1 + n

        4 = m·3 + n

zu lösen, weil es ja nur zwei Unbekannte gibt. Es muss dazu stattdessen das Gleichungssystem

        2 = m·1 + n

        4 = m·3 + n

        8 = m·6 + n

gelöst werden. Antwort: Keine lineare Funktion verläuft durch die gegebenen Punkte.

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Das ist meine Lösung zur Teilaufgabe b.) Kann das stimmen?

40   16  34

24   30  36

26   44  20

Und könntest du mir bei Teilaufgabe a.) Vielleicht den Ansatz verraten, wie man dort auf die Treppenstufenform kommt? Wäre echt super, vielen Dank

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Das ist meine Lösung zur Teilaufgabe b.) Kann das stimmen?

Prüfe ob "die Summe uber alle Elemente jeder Zeile, jeder Spalte und jeder der beiden ¨
Diagonalen einen vorgegebenen Wert c ∈ R annimmt".

wie man dort auf die Treppenstufenform kommt?

Zunächst ein mal solltest du das Gleichungssystem so aufschreiben, dass gleiche Variablen untereinander stehen.

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Habe ich. Alle ergeben 90 :)

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Dann kannst du dir jetzt doch sicherlich selbst die Frage beantworten, ob du die Matrix so ergänzt hast, dass ein “Zauberquadrat” entstanden ist (gemeint ist eine Matrix mit den Eigenschaften aus (a)), oder?