K Teilkörper von Körper L, K-Vektorraum L endliche Dimension k

Question

Sei K ein Teilkörper eines Körpers L, so dass der K-Vektorraum L endliche Dimension k hat. Sei V ein endlichdimensionaler L-Vektorraum, den wir dann auch als K-Vektorraum auffassen können. Zeigen Sie: dimK(V ) = k · dimL(V ).

Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Sei K ein Teilkörper eines Körpers L, so dass der K-Vektorraum L endliche Dimension k hat.

Also gibt es eine Basis (v1,...,vk) von k Elementen aus L und jedes x∈L lässt sich eindeutig

darstellen in der Form x = a1*v1 + ……  + ak*vk   mit  a1,....,ak ∈ K.

Sei V ein endlichdimensionaler L-Vektorraum sagen wir dim = n

Also gibt es eine Basis (w1,...,wn) von n Elementen aus V und jedes u∈V lässt sich eindeutig

darstellen in der Form u = b1*w1 + ……  + bn*wn   mit  b1,....,bk ∈ L .

den wir dann auch als K-Vektorraum auffassen können, also suchen wir uns

eine K-Basis für V. Dazu nehmen wir die L-Basis von oben und haben dann

mal erst  u = b1*w1 + ……  + bn*wn   mit  b1,....,bk ∈ L .     #

Nun wählen wir die K-Basis für L und stellen alle b_i damit dar:

            bi =  a_i1*v1 + ……  + a_ik*vk

und setzen das in # ein , dann entsteht eine Darstellung für u =

(a11*v1 + ……  + a1k*vk  )*w1 + ……  + (an1*v1 + ……  + ank*vk)*wn

Klammern auflösen gibt

a11*v1*w1 + ……  + a1k*vk*w1 + ……  + an1*v1*wn + ……  + ank*vk*wn

also bilden die

v1*w1 ,  …… ,vk*w1, …… , v1*wn , …, vk*wn

eine K-Basis für V, also dim _K V = k*n.

Answer 2

Bemerkung vorweg: Ich mache den Beweis komplett ohne Rumrechnen mit Koordinaten, sondern nur "mit Pfeilen". Das liegt einfach daran, dass bereits jemand einen Koordinaten-rumrechnen-beweis gegeben hat und ich dir einen zweiten Blickwinkel geben wollte. Welcher Beweis besser ist, kommt darauf an, wie dein Prof dir Vorlesung hält.

Sei L ein Körper, K ein Unterkörper mit Erweiterungsgrad k (bedeutet genau wie in der Aufgabenstellung, dass L als K-Vektorraum Dimension k hat) und sei V ein L-Vektorraum der L-Dimension n.

Was bedeutet es, dass V K-Dimension kn hat? Ein Hauptresultat der Theorie der endlichen Vektorräume ist, dass ein K-Vektorraum W immer isomorph zu K^dim(W) sein muss. Andersherum: Ist W isomorph zu K^x, dann gilt x = dim(W). Wir müssen also nur einen Isomorphismus zwischen V und K^kn finden, dann folgern wir, dass V K-Dimension kn haben muss.

Aus der ersten Bedingung bekommen wir einen Isomorphismus von K-Vektorräumen:

$$\Phi:K^k\to L,$$

und aus der zweiten Bedingung bekommen wir einen Isomorphismus von L-Vektorräumen:

$$\Psi:L^n\to V$$

Wir suchen jetzt einen Isomorphismus von K-Vektorräumen(!):

$$\Gamma:K^{k\cdot n}\to V$$

Dazu wählen wir den Vektorraum als n Blöcke der Größe k und betrachten die Komposition:

$$\Gamma:K^{k\cdot n} = K^{k}\times\ldots\times K^{k}\stackrel{\Phi\times\ldots\times\Phi}{\longrightarrow}L\times\ldots\times L = L^{n}\stackrel{\Psi}{\longrightarrow} V$$

Das ist die Idee dahinter, ich überlasse dir noch ein bisschen Detailarbeit, die dann die Lösung vervollständigt. Dazu hast du noch ein paar Dinge zu begründen (ein Satz pro Punkt sollte eigentlich reichen, wenn du einen normalen Tutor hast):

-Was für eine Vektorraumstruktur ist gemeint auf K^k x...x K^k? Ohne diese Erwähnung macht es keinen Sinn, von Vektorraumhomomorphismen zu reden.

-Handelt es sich bei Gamma um einen Homomorphismus von K-Vektorräumen? Psi ist ja ein Isomorphismus von L-Vektorräumen!

-Handelt es sich bei Gamma um eine Bijektion? Ja, falls du begründen kannst, dass alle Teilabbildungen Bijektionen sind, weil Verknüpfungen von Bijektionen Bijektionen sind.

-Was sind die Gleichheitszeichen für Abbildungen? Ich habe sie nicht angegeben, weil sie "kanonische Abbildungen" sind und jeder ernsthafte Mathematiker die beiden Räume als "gleich" identifiziert, es macht aber schon Sinn zu sagen, wie die Identifizierungen aussehen.

Warum mache ich den Beweis nicht mit Koordinaten? Nun, mit Koordinaten sähe die Abbildung so aus:

$$\Gamma:(x_{1,1},\ldots,x_{n,1},x_{1,2}\ldots,\ldots x_{n,n})\mapsto((x_{1,1},\ldots ,x_{n,1}),(x_{1,2},\ldots ,x_{n,2}),\ldots ,(x_{1,n},\ldots x_{n,n}))\mapsto (\Phi(x_{1,1},\ldots ,x_{n,1}),\Phi(x_{1,2},\ldots ,x_{n,2}),\ldots ,\Phi(x_{1,n},\ldots ,x_{n,n}))\mapsto \Psi((\Phi(x_{1,1},\ldots ,x_{n,1}),\Phi(x_{1,2},\ldots ,x_{n,2}),\ldots ,\Phi(x_{1,n},\ldots ,x_{n,n})))$$

Also muss Gamma ein Vektorraumisomorphismus sein und wir folgern, dass V als K-Vektorraum Dimension kn haben muss.

LG