Ableitung und Grenzwert eines Integrals berechnen.

Question

Aufgabe:

$$\text{Definiere }F : ( 0 , \infty ) \rightarrow \mathbb { R }\text{ durch }F ( t ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t x } \frac { \sin ( x ) } { x } d x\\ \begin{array} { r l } { \text {1. Zeigen Sie, dass für jedes } t > 0 } \\ { F ^ { \prime } ( t ) } & { = - \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t x } \sin ( x ) d x = - \frac { 1 } { 1 + t ^ { 2 } } } \end{array}\\\text{2. Zeigen Sie, dass }\lim _ { t \rightarrow \infty } F ( t ) = 0\\\text{3. Zeigen Sie, dass }F ( t ) = \frac { \pi } { 2 } - \arctan ( t ) \text { und } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \sin ( x ) } { x } d x = \frac { \pi } { 2 }$$

Problem/Ansatz:

1. Hierfür muss ich F nach t ableiten, doch wie leitet man ein Integral ab, wenn es von x abhängt, da ...dx?

2. Wie lasse ich ein Integral gegen t laufen, wenn nach dem Parameter x integiert wird?

3. Habe ich hier das Integral etwa zu umschreiben? Also bspw. zerlegen von 0 - a und dann von a - unendlich?

Answer 1

Hallo

 Das Integral hängt ja nicht von x ab, du differenzierst nach dem Parameter t unter dem Integral, das Ergebnis steht ja in der nächsten Zeile.

dieses Integral zweimal partiell integrieren u'=sin(x) v=exp(-tx) das zweite mal cos(x)=u', dann kommst du bis auf einen Faktor auf das erste Integral, und bringst die 2 zusammen.

2. widerspricht 3. ein Tipfehler? sonst benutze 1) also die Formel für F'

ein bestimmtes Integral hängt doch nur von dem Parameter ab?

 int 1/t*x^2 dx etwa ist in den Grenzen a bis oo eine Zahl, abhängig von t und a, leicht zu bestimmen, und für t->00 auch 0.

3. da du in 1 ja eine einfache Formel für F' hast kannst du die nach t integrieren.

Gruß lul