Wie berechnet man den Grenzwert hier?

Question

$$ \lim_{x\to0}(1+arctan(x)){  }^{ \frac { 1 }{ x } } $$

man kann es ja noch umschreiben zu:

$$ \lim_{x\to0}(1+tan{  }^{ -1 }(x)){  }^{ \frac { 1 }{ x } } $$

Dann muss ja aber noch ein Bruch sein, damit man l'hospital anwenden darf? Und muss man da noch nicht ein Potenzgesetz anweden?

$$ (a^n)^m=a{  }^{ n\cdot m } $$ ??

Answer 1

Hi Emre,

schreibe es so um:

$$(1+\arctan(x))^{1/x} = e^{\frac1x\cdot\ln(1+\arctan(x))}$$

Nun kannst Du den Limes vom Exponenten betrachten. Und da l'Hospital anwenden.


Willst Du es selbst probieren? Ist nicht ganz einfach. Du wirst feststellen, dass der Exponent 1 ist. Insgesamt hast Du also e^1 = e.

Grüße

Comments

Ohaaaaaaaaaaaaaa OOOOOOOOOOOOooooooooooooooooooo

aber deshalb liebe ich irgendwie Mathe Oo
^^

ich trau mich nicht so ganz^^

aber ich vesuchs ..das war ja gestern auch so mit Polynomdivisdion :D

braucht man aber hier kein bruch????

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Du hast schon einen Bruch im Exponenten vorliegen ;). Überprüfe ob sich l'Hospital anwenden lässt oder nicht. Wie gesagt ist das aber nicht ganz einfach. Man muss das Ableiten vertieft beherrschen.

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Oh ja stimmt :)
Aber das sieht so wirklich voll interessant aus :)  Nur buchstaben statt Zahlen hahah

ok moment :)

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Ja l'hospital ist anwendbar??

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Ja ;) \(        \)

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Ohhh juuhhhuuu

jetzt Zähler und Nenner differenzieren oder? Also ableiten??

1 abgeleitet gibt 0

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Oo nein, so war das nicht gemeint :P.

Der Zähler ist der Logarithmus etc.

Der Nenner ist alleine x.

Du weißt doch, dass 1/a * b = b/a ist...

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ahsoo oh sorry:)

das ist ja wirklich kompliziert OOOOooooo

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Nur, wenn man bei den Ableitungen noch nicht gefestigt ist ;).

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ich verstehe einfach nicht wie man das ableiten soll?

$$ e{  }^{ \frac { 1 }{ x }\cdot ln(1+arctan(x)) } $$ ?? Oo

ich will jetztr was sagen aber bitte nicht lachen: Vielleicht kettenregel?? Oo oder Produktregel weil das mit mal verbunden ist?? Oo

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Du hast das mit dem l'Hospitale wohl doch noch nicht so verstanden?

l'Hospital besagt, dass Du Dich auf je den Zähler und den Nenner konzentrieren darfst. Dabei betrachten wir hier nur den Exponenten der e-Funktion (warum man das darf, sei mal irrelevant). Wie sieht der Zähler aus? Wie der Nenner? Wie sehen dann je die Ableitungen aus?

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Kümmer dich zunächst nur um den Grenzwert des Exponenten. D.h. ignorier erstmal das dort e^... steht

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Ahso ok ..das e^ hat mich auch die ganze zeit verunsichert wie ich das ableiten soll Oo

ehm also Zähler ist ja ln(1+arctan(x)) oder?? und Der Nenner nur x und x ergibt beim ableiten 1

ehm wie man ln(1+arctan(x)) ableitet weiß ich jetzt sofort nicht ..... :(

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Wie leitest Du ln(u) ab? ;)

(Der Rest passt)

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ln(u) ist abgeleitet 1/u?

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Genau. Und u war bei uns jetzt 1+arctan(x)

Jetzt kommen wir zur Kettenregel. Die besagt, dass wir noch ein u' dranmultiplizieren müssen. Also:

$$\frac{1}{u}u' = \frac{1}{1+\arctan(x)}\cdot(1+\arctan(x))'$$

Was kommt raus? Die Ableitung von arctan(x) dollte dabei auswendig gewusst werden, wenn man es schon öfter gebraucht hat, oder aber einfach nachgeschlagen werden.

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Eventuell solltest du dir doch mal die Wolframalpha App installieren. Dann brauchst du nicht wegen den Kleinigkeiten nachfragen. Und die Android-Version bietet dir für viele Fälle sogar eine Schritt für Schritt Lösung an.

Aber ich glaube ich habe dir diese recht nützliche App schon gefühlte 1000 mal empfohlen. Genauso wie ein gutes Mathebuch, welches man von vorn nach hinten durcharbeiten sollte.

Wie will man einen Grenzwert über L'Hospital bestimmen wenn man nicht weiß was die Ableitung von LN(x) und von ARCTAN(x) ist ?

Das ist dann schwerlich möglich.

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Ja Mathecoach die Android Version lad ich mir runter. Mein Handy ist leider kaputt

und ich weiß was die Ableitung von lnx ist Oo  und die ableitung von arctan(x) ist 1/(x^2+1) (das hab ich jetzt nachgeguckt)

ich muss schlafen gute nacht Und danke für alles :)

Danke auch dir natürlich Unknown :)

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Dann bist Du nun fast fertig.

Du hast nun mittlerweile stehen:

$$\frac{1}{(1+x^2)(1+\arctan(x))}$$

Das im Limes betrachtet führt auf 1 und damit kommen wir auf unseren endgültigen Wert e (siehe auch bei Mathecoach).

Gute Nacht euch beiden.

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@Unknown: Ich habe nochmal eine kurze Frage: Wie kommt man darauf, dass so umzuschreiben?? gibt es da einen Trick oder? Muss man das einfach wissen?

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Beides^^. Es ist ein Trick den man Wissen muss :P.

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Kannst Du mir den mal verraten? :)

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Hmm? Das hatte ich in der Antwort selbst schon getan.

Ausnutzen von a = e^{ln a}. Mehr isses nicht^^.

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ahhh :) hahaha:)

Answer 2

Erinner dich mal an den Grenzwert

lim (x → ∞) (1 + 1/x)^x

und wie man das löst und wende die Erkenntnisse auf die aktuelle Aufgabe an.

Grundsätzlich kann man Ausdrücke mit Potenzen immer so versuchen zu lösen.

Comments

Hä wie meinst Du das Mathecoach?? :)

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Wenn du das nicht weißt, dann probiere auch diese Aufgabe zu lösen.

Aber mal ehrlich. Warum fragst du nach so schweren Aufgaben von denen Du selber weißt, dass du sie nicht lösen kannst. Ich bin mir sicher das wir gerade meine Aufgabe hier bestimmt schon irgendwo im Board so oder so ähnlich stehen haben.

Und wenn man die lösen kann kann man die von Unknown auch lösen. Da ist ja kein anderer Kniff dabei.

Achtung. Ich werde jetzt die Aufgabe von Unknown lösen. Das solltest du aber selber machen und dann nur eventuell hier zur Kontrolle vergleichen:

lim (x → 0) (1 + ATAN(x))^{1/x}

lim (x → 0) EXP(LN((1 + ATAN(x))^{1/x}))

lim (x → 0) EXP(1/x·LN(1 + ATAN(x)))

lim (x → 0) EXP(LN(1 + ATAN(x)) / x)

Wir betrachten den Grenzwert des Exponenten

lim (x → 0) LN(1 + ATAN(x)) / x

L'Hospital da Grenzwert vom Typ 0/0

lim (x → 0) (1/((x^2 + 1)·(ATAN(x) + 1))) / 1

lim (x → 0) 1/((x^2 + 1)·(ATAN(x) + 1)) = 1

Nun betrachten wir wieder den gesamten Ausdruck.

lim (x → 0) EXP(LN(1 + ATAN(x)) / x) = EXP(1) = e

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Mathecoach wie könnt ihr das alle so schnell...... nix ist für euch schwer Oo

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Weil wir die Grundlagen verstehen und diese Anwenden können.

Wie gesagt unterscheidet sich diese Aufgabe nicht so sehr von den Aufgaben die in jedem Mathebuch durchgekaut werden.

Wenn man allerdings mit den Grundlagen Schwierigkeiten hat wird man auch bei komplexeren Aufgaben immer Probleme haben.

Ich finde es unsinnig nach schweren Regeln zu Hospital zu fragen wenn man die Grundlagen nicht kann.

Schau nicht in die Ferne wenn vor dir ein dicker Stein liegt über den du stolpern wirst.