Stochastik-Aufgabe: Handy Hersteller hat mit Produktionsfehlern zu kämpfen.

Question

Aufgabe:

… Ein Handy Hersteller hat mit Produktionsfehlern zu kämpfen. Bei 400 produzierten Geräten gibt es insgesamt 60 Pixelfehler.

a) Bei wie vielen Geräten gibt es 0 bzw.  1 Pixelfehler pro Gerät?

b) Mit wie vielen Pixelfehlern muss man maximal pro Gerät rechnen?

c) Ein anderer Hersteller hat bei 400 produzierten Geräten 380 ohne Pixelfehler. Wie viele Fehler gibt es bei ihm insgesamt?

Problem/Ansatz:

… Leider habe ich mit einem Mathelehrer über diese Aufgabe lange diskutiert und wir kamen beide nicht so ganz voran... Der Ansatz von mir ist wahrscheinlich falsch, aber ich schicke ihn trotzdem mal rein.  

Comments

Ich war mir zwar in meiner Antwort auch nicht zu 100% sicher allerdings 25 Geräte ohne Pixelfehler kann doch nicht sein. Das sagt doch der Logische Menschenverstand. Wenn ich 400 Handys habe und dabei 60 Pixelfehler auftreten, dann könnte ich im Schlimmsten Fall 60 Geräte mit jeweils genau einem Pixelfehler haben. Dann wären 340 Geräte ohne Pixelfehler. Wahrscheinlicher ist es jedoch das es eventuell auch Geräte mit mehr als einem Pixelfehler gibt und damit würde sich die Anzahl der fehlerfreien Geräte noch erhöhen.

Wenn man also seinen Menschenverstand einschaltet sollte klar sein das 25 Geräte ohne Pixelfehler ein Wert ist, der weit von der Realität entfernt ist.

Answer 1

Grundsätzlich sollte man sich überlegen ob die Anzahl der Fehler pro Handy einer Binomialverteilung folgt oder eher einer Poissonverteilung. Ich würde eher zu einer Poissonverteilung tendieren.

Wie es ausschaut habt ihr an eine Binomialverteilung gedacht. Daher werde ich das mal mit der Binomialverteilung rechnen, weil die Poissonverteilung z.B. aus dem Hamburger Abitur gestrichen worden ist.

a)
P(X = 0) = COMB(60, 0)·(1/400)^0·(1 - 1/400)^(60 - 0) = 0.8605
400·0.8605 = 344.2 → Wir erwarten ca. 344 Geräte ohne Pixelfehler

P(X = 1) = COMB(60, 1)·(1/400)^1·(1 - 1/400)^(60 - 1) = 0.1294
400·0.1294 = 51.76 Wir erwarten ca. 52 Geräte mit einem Pixelfehler

b)
COMB(60, x)·(1/400)^x·(1 - 1/400)^(60 - x)

∑(COMB(60, x)·(1/400)^x·(1 - 1/400)^(60 - x), x, 0, 1) = 0.9899518039
∑(COMB(60, x)·(1/400)^x·(1 - 1/400)^(60 - x), x, 0, 2) = 0.9995193758
Mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99% kann man mit maximal 2 Pixelfehlern rechnen.

c)
400·p = 380 → p = 0.95
P(X = 0) = COMB(n, 0)·(1/400)^0·(1 - 1/400)^(n - 0) = 0.95 → n = 20
Wir erwarten ca. 20 Fehler bei ihm.

Comments

vielen Dank! nur eine Frage, was wurde bei b) gemacht?

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Naja. Quasi ein Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von 1%.

Ich frage mich also wie viele Fehler hat man zu 99% aller Fälle und wie viele Fehler hat man in unter 1% aller Fälle.

Theoretisch wäre es natürlich möglich das einzige Gerät zu besitzen welches 60 Pixelfehler aufweist und alle anderen Geräte sind heil. Das ist aber so extrem unwahrscheinlich, dass dies nicht unsere maximale Fehleranzahl sein wird.

Daher die Wahl eines Hypothesentests.

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Okay danke, aber ich verstehe den Syntax bei b) nicht... So haben wir es nämlich noch nie aufgeschrieben... Wie kann man das anders aufschreiben? Oder kannst Du bitte die Schritte genauer sagen.

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Das ist eigentlich nur die Summierte Binomialverteilung. Manchmal auch als BinomCDF oder ähnliches auf Taschenrechnern verfügbar.

∑(COMB(60, x)·(1/400)^x·(1 - 1/400)^(60 - x), x, 0, 1)

= ∑ (x = 0 bis 1) ((60 über x)·(1/400)^x·(1 - 1/400)^(60 - x))

= (60 über 0)·(1/400)^0·(1 - 1/400)^(60 - 0) + (60 über 1)·(1/400)^1·(1 - 1/400)^(60 - 1)

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okay danke. Also die Lösung zu b) wäre 2, weil 3 dann über 1% wäre, richtig?

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also bis wann muss man kumuliert rechnen? Wann habe ich denn mein Ergebnis?

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Man nimmt meist ein Signifikanzniveau von 5% oder von 1%.

Hier kannst du dir ein Niveau ausdenken.

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okay und bei 1%? was wäre da meine Lösung

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Ich habe doch ein Signifikanzniveau von 1% genommen bzw. eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 99%